高中数学第一章1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理3课堂导学案.docx

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 3课堂导学三点剖析一、“分类”与“分步”是区分两个计数原理的唯一标准【例1】某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书.(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法?(2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法?思路分析：(1)中“带一本参考书”应运用加法原理；(2)中“各带一本参考书”应运用乘法原理；(3)中“第2本不同学科的书”应分情况讨论，具有综合性.解析：(1)要完成的事是“带一本参考书”，由于无论带哪一学科的书都完成了这件事，因此是分类问题，应用加法原理得5+6+2+3=16(种)不同的带法.(2)要完成的事是“外语、数学、物理和化学各带一本”.因此，选一个学科中的一本书只完成了这件事的一部分，只有几个学科的书都选定了之后，才完成这件事，因此是分步计数问题，应用乘法原理，有5623=180(种)不同的带法.(3)要完成的事是“带2本不同学科的书”，因此要分情况考虑，即先考虑是带哪两个学科的书，如带外语、数学各一本，则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分，因此要用乘法原理，即有56=30种选法.同样地，外语、物理各选一本，有52=10种选法.选外语、化学各一本有53=15种选法，从而上述每种选法都完成了这件事.因此这些选法种数之间还应用加法原理，共有5652+53+62+63+23=91(种)二、两个计数原理的综合应用分类和分步的先后问题【例2】从1到200的自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数有多少个?分析：由题设条件要先分类，第一类考虑一位数中有多少不含数字8的自然数；第二类考虑两位数中有多少个不含数字8的自然数，此类中又要分个数和十位数两步，即要分步；第三类考虑三位数中有多少个不含数字8，也要分个位、十位、百位三步.故应先用分类计数原理，在每一类中需要分步的再用分步计数原理求解.解析：由题意分三类解决，第一类：一位数中有8个大于0且不含数字8的自然数.第二类：两位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两步，第一步：个位上除8之外有9种选法，第二步：十位数上除0和8之外有8种选法，要根据分步计数原理，得第二类数中有89=72(个)数符合要求.第三类：三位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两个小类，一类是百位数为1的三位数，此类需分三步，第一步：个位上除8之外有9种选法；第二步：十位数上除8之外有9种选法；第三步：百位数为1，有1种选法.根据分步计数原理，得此类数中有99=81(个)数符合要求.另一类是百位数为2的三位数，即200，就是1个，由分类计数原理得此时第三类的三位数中有81+1=82(个)不含数字8的自然数.故先用分类计数原理再结合分步计数原理，得从1到200的自然数中各个数位上都不含数字8的自然有N=8+72+82=162(个).三、用两个计数原理解题时，要注意化归思想和分类讨论思想的使用【例3】求与正四面体四个顶点距离之比为1112的平面的个数.解析：设正四面体的顶点为A，B，C，D，到这四个点距离之比为1112的平面有两类：(1)点A，B，C在平面的同侧，有2个(如图). (2)点A，B，C在平面的两侧，有6个(如图). 转换点A，B，C，D，共可得48=32个平面.各个击破【类题演练1】已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)是平面上的点,a,bM:(1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点?(2)P(a,b)可表示多少个坐标轴上的点?解析：(1)完成这件事分成两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，P点个数为：N=66=36(个)(2)完成这件事可分三类：x轴上(不含原点)有5个；y轴上(不含原点)有5个；既在x轴上，又在y轴上的点即原点也适合，共有N=5+5+1=11(个)【变式提升1】甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种.这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种?解析：分两类：一类是甲厂生产的有34种，一类是乙厂生产的有45种，根据加法原理共有34+45=32种.【类题演练2】将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同；如果只有红、黄、蓝、绿、黑5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解析：如图所示，四棱锥P-ABCD中，第一步先将侧面PAB上的三点P、A、B染色，由于只有5种颜色且具有同一条棱上的两端点颜色不同，再分三个步骤共有543=60(种)染法.其次，当P、A、B用三种不同的颜色染好后，不妨设分别染的是P红、A黄、B蓝.若点C染黄色，则D可染蓝、绿、黑，即有3种染法.若点C染绿色，则D可染蓝、黑，即有2种染法.若点C染黑色，则D可染蓝、绿，即有2种染法.故第二步C和D还有7种染法.最后，由分步计数原理，得共有607=420(种)染法.【变式提升2】同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有( )A.6种 B.9种 C.11种 D.23种解析：记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到.故有3种分配方式；以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类：甲收到乙送出的卡片，这时，丙、丁只有互送卡片一种分配方式.第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别为丙和丁送出的)，对于每一种情形，丁收到卡片的方式只有一种.因此，根据分类与分步计数原理，得不同的分配方式数为：3(1+2)=9.答案：B【类题演练3】在坐标平面上画出63条直线：y=b,y=+2b,y=+2b,其中b=-10,-9,-8, ，-1，0，1，8，9，10，这些直线将平面切成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形有多少个?解析：6条最外面的直线围成一个边长为的正六边形，穿过原点O的三条直线将这六边形分成6个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形内部共有边长为的小三角形为6102=600(个).另外，与正六边形每条边相邻的外部都有10个边长为的小三角形(如图).故边长为23的等边三角形的个数为N=6102+610=660.【变式提升3】某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场得1分；负一场是0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形共有( )A.3种 B.4种 C.5种 D.6种解析：设该队胜x场，平y场，负z场，则x,y,z是非负整数，且因为不考虑胜、平、负的顺序，所以问题转化为求此方程组的不同非负