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Fpg第三讲 充满活力韦达定理 一元二次方程根与系数关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出数学家韦达发现 韦达定理简单形式中包含了丰富数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数值； 运用韦达定理，求代数式值； 利用韦达定理并结合根判别式，讨论根符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例1】 已知、是方程两个实数根，则代数式值为 思路点拨 所求代数式为、非对称式，通过根定义、一元二次方程变形转化为(例【例2】如果、都是质数，且，那么值为( ) A B或2 C D或2思路点拨 可将两个等式相减，得到、关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程两实根，这样就为根与系数关系应用创造了条件注：应用韦达定理代数式值，一般是关于、对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根定义降次；(3)构造对称式【例3】 已知关于方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根 (2)若这个方程两个实根、满足，求m值及相应、思路点拨 对于(2)，先判定、符号特征，并从分类讨论入手【例4】 设、是方程两个实数根，当m为何值时， 有最小值?并求出这个最小值 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行注：应用韦达定理前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0这一条件，转化是一种重要数学思想方法，但要注意转化前后问题等价性【例5】 已知：四边形ABCD中，ABCD，且AB、CD长是关于方程两个根(1)当m2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由(2)若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ1，且ABBC)长是关于方程两个根(1)求rn值；（2）若E是AB上一点，CFDE于F，求BE为何值时，CEF面积是CED面积，请说明理由 16设m是不小于实数，使得关于方程工有两个不相等实数根、(1) 若，求m值(2)求最大值 17如图，已知在ABC中，ACB=90，过C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又关于x方程两实数根差平方小于192，求整数m、n
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