高中数学5.3的证明5.3.1比较法知识导航学案苏教版选修.docx

5.3.1 比较法自主整理1.比较法一般分为两种:_和_.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:_.(2)基本步骤:作差;合并化简;分解因式(或配方);与0比较大小.3.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:_.(2)基本步骤:_;_;_;_.高手笔记1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.名师解惑如何正确使用作商法?剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如1ab是错误的,因为这里的变形实质上是在不等式1两边同乘a所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一个负数是不同的,当a0时,得ba,但当a0时,得ba,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.讲练互动【例1】求证:a2+b22(a-b-2).分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.证明:a2+b2-2(a-b-2)=a2+b2-2a+2b+4=(a-1)2+(b+1)2+20,a2+b22(a-b-2).绿色通道 不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.变式训练1.已知a、b都是正数,且ab,求证:a5+b5a3b2+a2b3.证明:a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),a、b都是正数,a+b0,a2+ab+b20.ab,(a-b)20.(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)0,即a5+b5a3b2+a2b3成立.【例2】已知abc0,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法.证明:=a2a-(b+c)b2b-(a+c)c2c-(a+b),abc0,2a-b-c0,2c-a-b0.a2a-b-cb2a-b-c,c2c-a-bb2c-a-b.a2a-b-cb2b-a-cc2c-a-bb2a-b-cb2b-a-cb2c-a-b=b0=1.1.a2ab2bc2cab+cba+cca+b.绿色通道 指数幂结构的不等式一般用作商比较法证明,并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.变式训练2.已知ab0,求证:aabbabba.证明:=aa-bbb-a=()a-b,ab0,1,a-b0.()a-b1.1.aabbabba成立.【例3】已知a1,求证:.分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差法进行证明.又a1,不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.证法一:()-()=0,.证法二:=1,又0,成立.绿色通道 对于两根式相加或相减,常用平方差公式进行分子或分母有理化变形.变式训练3.若a0,b0,求证:+.证明:a0,b0,-(+)=(a-b)(-)=.a0,b0,0,0,()20.-()0,即.【例4】已知a、b是两正实数,试比较an+bn与an-1b+abn-1(nN*,n1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时,有a-b0,an-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0,即an+bnan-1b+abn-1.当ba0时,有a-b0,an-1-bn-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0,即an+bnan-1b+abn-1.当b=a0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0.当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1.综上,当ab时,an+bnan-1b+abn-1;当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1.绿色通道 若各因子的符号不确定时,可根据情况进行分类讨论,分类时做到“不重不漏”.变式训练4.已知a、bR+,nN*,求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).证明:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),(1)当ba0时,bnan,b-a0.an-bn0.(an-bn)(b-a)0.(2)当ab