高中文科数学立体几何知识点总结04858.doc

WORD文档ll / m立体几何知识点整理（文科）m l / m一 直线和平面的三种位置关系：l1. 线面平行方法二：用面面平行实现。l/l / l 符号表示：2. 线面相交llA 方法三：用平面法向量实现。符号表示：3. 线在面内 nl若 n 为平 面 的 一个法 向量，n l 且 l ,则 l / 。 l 符号表示：二 平行关系：1. 线线平行：l方法一：用线面平行实现。l /l l / mm3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。l / l l mlmmm/l ,mm且相交/方法二：用面面平行实现。l , m且相交l /l l / m m m方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。l /若l ,m ，则 l / m 。m / /方法四：用向量方法：l ,m且相交lm若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合，则l / m 。2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。1 / 11专业资料lACB方法三：用向量方法：若向量 l 和向量 m 的数量积为 0，则 l m 。三垂直关系：三 夹角问题。4. 线面垂直：(一)异 面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现。 (1) 范围： (0 ,90 l AClABABABACAC,Al(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。PnA O方法二：用面面垂直实现。步骤 2：解三角形求出角。 (常用到余弦定理 ) 余弦定理：lm la cml m, lcos2a2b2abc2b (计算结果可能是其补角 )5. 面面垂直：方法二：向量法。转化为向量方法一：用线面垂直实现。C的夹角 ll( ) 计算结果可能是其补角 ：lA B AB ACAB ACcos方法二：计算所成二面角为直角。(二)线面角6. 线线垂直：(1) 定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ，作方法一：用线面垂直实现。mllml mPO 于 O,连结 AO ，则 AO 为斜线 PA 在面 内的射影， PAO (图中 )为直线 l 与面 所成的角。P方法二：三垂线定理及其逆定理。POPA OA Oll OA l PAl(2) 范围： 0 ,90 2 / 11 0 l l /当 时， 或当 90 时， ln1n2(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。步骤一：计算cosn n1 2n n1 2n n1 2(三)二 面角及其平面角步骤二：判断 与n n 的关系，可能相等或1 2(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作者互补。l 的垂线（射线） m、n，则射线 m 和 n 的夹角 为四 距离问题。二面角 l 的平面角。 1点面距。方法一：几何法。m Pl PnA O(2)范围： 0 ,180 步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形；等(3)求法：体积法和等面积法；换点法 )方法一：定义法。 2线面距、面面距均可转化为点面距。步骤 1：作出二面角的平面角 (三垂线定理 )，并证明。 3异面直线之间的距离步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法一：转化为线面距离。方法二：截面法。m步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和 ，n则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。如图， m 和 n 为两条异面直线， n 且步骤 2：解三角形，求出二面角。m / ，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 P线 m 与平面 之间的距离。 A方法二：直接计算公垂线段的长度。O方法三：公式法。 方法三：坐标法 (计算结果可能与二面角互补 )。3 / 11如图， AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段， B a A md nm/ m ，则异面直线 m 和 n 之间的距离为： cCmDbd c2 a b ab2 22cos五 空间向量(一)空 间向量基本定理AA1CDC1若向量 a,b, c 为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量 p ，都存在唯一的有序实数对BB1x、y、z，使得 p xa yb zc 。(二) 三点共线，四点共面问题7. A，B，C 三点共线OA xOB yOC，且 x y 1当1x y 时， A 是线段 BC 的2A，B，C 三点共线 AB AC8. A，B，C，D 四点共面OA xOB yOC zOD，且 x y z 1当1x y z 时，A 是BCD的3A，B，C，D 四点共面 AB xAC yAD(三)空间向量的坐标运算2. 已知空间中 A、B 两点的坐标分别为：A(x , y ,z ) ， B( x2 ,y2, z2 ) 则：1 1 1AB ; dA,B AB3. 若空间中的向量 a ( x1 ,y1, z1) ， ( 2 , y , z )b x2 2则 a b a b4 / 11a b cos a b六常见几何体的特征及运算(一)长方体9. 长方体的对角线相等且互相平分。10. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为 、 、 ，则2 2 2cos + cos + cos若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为 、 、 ，则2 2 2cos + cos + cos11. 若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体 )(五)棱 锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相似， 且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积： V棱柱V棱锥(七)球4. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。5. 设球半径为 R，小圆的半径为 r，小圆圆心为 O1，球心 O 到小圆的距离为 d，则它们三者之间的数量关系是 。6. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。7. 球的表面积公式： 体积公式：高考题典例考点 1 点到平面的距离5 / 11例 1 如图，正三棱柱ABC A B C 的所有棱长都为 2 ，D 为1 1 1CC 中点1（）求证：AB 平面1A BD ；（）求二面角1A A D B 的大小；1（）求点 C 到平面A BD 的距离1解答过程 （）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正三角形， AO BC 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC 平面BCC B ，1 1AA1AO平面BCC B 连结1 1BO，在正方形1BB C C 中，O，D 分 别 为1 1FB C， C C1的中点，B OBD ，1AB BD1OCDC1在正方形ABB A 中，1 1AB A B，1 1AB 平面1A BD 1BB1（）设AB 与1AB 交于点 G ，在平面1ABD 中，作1GF AD 于 F ， 连 结1AF ，由（）得AB 平面1ABD 1AF A D ， AFG 为二面角1A A D B的平面角1在 中，由等面积法可求得 4 5AADAF ，15又1AG AB ， sin 2 102AGAFG12AF 4 5 4 5所以二面角A A D B 的大小为 arcsin 1014（） 中，A BD1， ， ， 1 BD A1D 5 A1 B 2 2 S A BD 6 SBCD1在正三棱柱中，A 到平面1BCC B 的距离为 3 1 1设点 C 到平面A BD 的距离为 d 1由V V ，得 A BCD C A BD1 11 1S 3 S d BCD A BD3 31，d3S 2BCDSA BD12点C 到平面ABD 的距离为 212考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为 4 2 的正三角形，棱SC 的长为 2，且垂直于底面 . E、D 分别为 BC、AB的中点，求6 / 11CD 与 SE 间的距离 .解答过程 ： 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF ，SF，CF ，EF 为 BCD 的中位线， EF CD, CD 面 SEF , CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF的距离，设其为 h，由题意知， BC 4 2,D、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，CD12 6, EF CD 6, DF 2, SC 22VS CEF1312EFDFSC13126222 3 32 CE2在 Rt SCE 中， SE SC 2 32 CF 2在 Rt SCF 中， SF SC 4 24 2 301又 EF 6, S 3 由于 VC SEF VS CEF S SEF hSEF3，即1332 3h ，解得3h2 3 32 3故 CD 与 SE 间的距离为 .3考点 3 直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为 2 的正方体AC 中，G 是1AA 的中点，求 BD 到平面1GB1D 的距离 .1思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解 .解答过程 ：解析一 BD 平面GB1 D ，1A1D1O1B1C1BD 上任意一点到平面 GB1D1 的距离皆为所求，以下求H点 O 平面 GB1D1 的距离 ,GD CB1D A C ， B1D1 A1 A， B1D1 平面 A1 ACC1 ,1 1 1OA B又 B1D1 平面 GB1D1 平面 A1ACC1 GB1D1，两个平面的交线是 O1G ,作 OH O1G 于 H，则有 OH 平面 GB1D1，即 OH 是 O 点到平面 GB1D1 的距离 .1 1在 O1OG中， S 1 O O AO 2 2 2O .OG 12 27 / 11又1 1 2 6S O1OG OH O G OH OH .3 2,12 2 3即 BD 到平面 GB1 D1的距离等于2 6 3.解析二 BD 平面GB1 D ，1BD 上任意一点到平面 GB1 D1的距离皆为所求，以下求点 B 平面 GB1D1 的距离 .设点 B 到平面GB1D 的距离为 h，将它视为三棱锥1B GB 的高，则1 D11VB V ,由于S 2 2 3 6，GB1D D GBB GB D1 1 1 1 121 1 4V 2 2 2 ,D1 GBB13 2 3h462 6 3,即 BD 到平面GB1D 的距离等于12 63.小结 ：当直线与平面平行时， 直线上的每一点到平面的距离都相等， 都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离 .本例解析一是根据选出的点直接作出距离； 解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在 RtAOB 中， OAB ，斜边 AB 4 RtAOC 可以通过 RtAOB 以直线 AO 为轴旋转6A 得到，且二面角 B AO C 的直二面角 D 是 AB 的中点（I）求证：平面 COD 平面 AOB ；D（II）求异面直线 AO 与CD 所成角的大小解答过程 ：（I）由题意， CO AO ， BO AO ，zAEB OBOC 是二面角 B AO C 是直二面角，CCO BO ，又 AO BO O， CO 平面 AOB ，D又 CO 平面 COD 平面 COD 平面 AOB （II）作 DE OB ，垂足为 E，连结 CE （如图），则 DE AO ，CDE 是异面直线 AO 与CD 所成的角在 RtCOE 中， CO BO 2 ， 1 1 OE BO ，22 2 5CE CO OE xCOBy8 / 11又 DE 1 AO 3 在RtCDE 中， tan 5 15CECDE2DE 3 3异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 153小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体， 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系， 如解析三 .一般来说， 平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0 .,2考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 侧面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 ，AB 2 ，BC 2 2， SA SB 3 S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小CB解答过程：（） 作SOBC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC 底 面D AA B，得 SO底面 ABCD S 因为 SA SB，所以 AO BO ，又 ABC 45 ， 故 A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ，O AO BO ，由三垂线定理，得 SABC CB（）由（）知 SABC ，依题设 AD BC ，DA故 SAAD ，由 AD BC 2 2 ，SA 3，AO 2 ，得 SO 1， SD 11 SA B的面积21 12S AB SA AB 212 2连结 DB ，得 DAB 的面积1S AB AD22sin135 2设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由于V V ，得D SAB S ABD1 1h S SO S ，解得 h 2 1 23 3设 SD 与平面 SAB所成角为 ，则 sin h 2 22SD 11 11所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 2211小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（ 1）先判断直线和平面的位置关系； （2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，9 / 11计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值 .考点 6 二面角例 6如图， 已知直二面角 PQ ， A PQ ，B ，C ，CA CB ，CBAP ，直线 CA 和平面 所成的角为 30 （I）证明 BC PQ45PAQ （II）求二面角 B AC P 的大小B过程指引 ：（I）在平面 内过点 C 作CO PQ 于点 O ，连结 OB 因为 ， PQ ，所以 CO ，CHAPQ又因为 CA CB ，所以 OA OB OB而 BAO 45 ，所以 ABO 45 ， AOB 90 ，从而 BO PQ ，又 CO PQ ，所以 PQ 平面 OBC 因为 BC 平面 OBC ，故 PQ BC （II）由（ I）知， BO PQ ，又 ， PQ ，BO ，所以 BO 过点 O 作OH AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知， BH AC 故BHO 是二面角 B AC P 的平面角由（I）知， CO ，所以 CAO 是CA 和平面 所成的角，则 CAO 30 ，不妨设 AC 2 ，则 AO 3，3OH AO sin 30 2在 RtOAB 中 ， ABO BAO 45 ， 所 以 B O A O 3 ， 于 是 在 Rt BOH 中 ，BO 3t a n BHO 2故二面角 B AC P 的大小为 arctan 2 OH 32小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题 .解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角 .无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小 .10 / 11考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图，