高三数学 数学归纳法(第二、三课时) ppt.ppt

2 1数学归纳法及其应用举例 2 学习目标 进一步理解数学归纳法的证明原理会利用数学归纳法证明与自然数有关的几何问题 不等式问题和整除问题了解数学归纳法应用的广泛性 进一步掌握数学归纳法的证明步骤 数学归纳法证明有哪些步骤 数学归纳法通常解决什么问题 与正整数有关命题 例1 已知x 1 且x 0 n n n 2 求证 1 x n 1 nx证明 1 当n 2时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 1时不等式成立2 假设n k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx当n k 1时 因为x 1 所以1 x 0 于是左边 1 x k 1 1 x k 1 x 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 右边 1 k 1 x 因为kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当n k 1时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 例2 证明 2n 2 n2 n n 证明 1 当n 1时 左边 21 2 4 右边 1 左边 右边当n 2时 左 22 2 6 右 22 4 左 右 当n 3时 左 23 2 10 右 32 9 左 右 因此当n 1 2 3时 不等式成立 2 假设当n k k 3且k n 时 不等式成立 即2k 2 k2 因为2k 1 2 2 2k 2 2 2k 2 2 2k2 2 k2 2k 1 k2 2k 3 k2 2k 1 k 1 k 3 因k 3 则k 3 0 k 1 0 k2 2k 1 k 1 2 所以2k 1 2 k 1 2 故当n k 1时 原不等式也成立 根据1和2 原不等式对于任何n n 都成立 例3 求证 当n 2 n n时 证明 1 当n 2时 n 2时原不等式成立2 假设n k k 2 时不等式成立 即 当n k 1时 例4 设数列 an 满足an 1 an2 nan 1 n 1 2 3 1 当a1 2时 求a2 a3 a4 由此猜想出an的一个通项公式 并证明 2 当a1 3时 证明 对所有的n 1 有an n 2 注意 此问题解答过程中用到了 观察 归纳 猜想 证明 的思维方式 1 用数学归纳法证明 要完成两个步骤 这两个步骤是缺一不可的 但从证题的难易来分析 证明第二步是难点和关键 要充分利用归纳假设 做好命题从n k到n k 1的转化 这个转化要求在变化过程中结构不变 2 用数学归纳法证明不等式是较困难的课题 除运用证明不等式的几种基本方法外 经常使用的方法就是放缩法 针对目标 合理放缩 从而达到目标 3 数学归纳法也不是万能的 也有不能解决的问题 巩固练习 例题选讲 例5用数学归纳法证明 34n 2 52n 1能被14整除 分析 i 容易验证当n 1时 34 1 2 52 1 1 854 14 61 能被14整除 ii 设n k k 1 k n 时 34k 2 52k 1能被14整除 当n k 1时 相应的表达式怎样写 整除问题 34 k 1 2 52 k 1 1 从34 k 1 2 52 k 1 1 34k 2 34 52k 1 52入手 例题选讲 例5用数学归纳法证明 34n 2 52n 1能被14整除 证明 i 当n 1时 34 1 2 52 1 1 854 14 61 当n 1时 34n 2 52n 1能被14整除 ii 设n k k 1 k n 时 34k 2 52k 1能被14整除 那么当n k 1时 34 k 1 2 52 k 1 1 34k 2 34 52k 1 52 81 34k 2 25 52k 1 25 56 34k 2 25 52k 1 25 34k 2 52k 1 56 34k 2 整除问题 2 解题关键是把34 k 1 2 52 k 1 1拆分为34k 2 34 52k 1 52 再组合为都能被14整除的两整式的和 1 本题在解答中应用了数的整除性质设a b c是整数 1 若a整除b 则a整除bc 2 若a整除b且整除c 则a整除b c 34k 2 52k 1 能被14整除 56能被14整除 34n 2 52n 1能被14整除 即n k 1时 命题成立 根据 i ii 可知 34n 2 52n 1能被14整除 例题选讲 25 34k 2 52k 1 56 34k 2 小结 例6 用数学归纳法证明 x2n y2n能被x y整除 例题选讲 分析 1 当n 1时是成立的 例6 用数学归纳法证明 x2n y2n能被x y整除 例题选讲 例4与例5这类整除问题 都用到拆项的方法 例4把34 k 1 2 52 k 1 1拆成34k 2 34 52k 1 52 不同之处是例4拆项后可以直接分成两个都能被14整除的数的和 而例5拆项后则需要增减项后才能分成两个都能被x y整除的数的和 例题选讲 思考1 例4与例5这类整除问题在由n k到n k 1时的证明方法有什么相同之处 思考2 例4与例5在由n k到n k 1时的证明有什么不同之处 练习 p67练习1 2 5 5k 2k 3 2k 解析 2 假设n k时命题成立 即 5k 2k被3整除 当n k 1时5k 1 2k 1 5 5k 2 2k 5 5k 2k 5 2k 2 2k 5 5k 2k 3 2k 例题选讲 分析 画出n 2 3 4 5时的图形示意图 观察交点的变化规律 例6平面内有n n 1 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n 等于n n 1 2 几何问题 2 3 4 5 f 2 1 f 3 3 1 2 f 2 2 f 4 6 3 3 f 3 3 f 5 10 6 4 f 4 4 从k条到k 1条交点增加了k点 应证f k 1 f k k 例题选讲 几何问题 例6平面内有n n 1 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n 等于n n 1 2 证明 1 当n 2时两条直线的交点只有一个 又f 2 2 2 1 2 1 因此当n 2时 命题成立 2 假设n k k 1 时命题成立 就是说 平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f k k k 1 2 现在来考虑平面内有k 1条直线的情况 任取其中的一条直线 记为l 由题设 l和其它k条直线必有k个不同交点 又根据假设 其它k条直线的交点的个数f k 等于k k 1 2 根据题设 这k k 1 2个和这k个点是不同的交点 从而平面内满足题设的k 1条直线的交点的个数是 k k 1 2 k k k