2017_18学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析.docx

14.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)正弦、余弦函数的周期性提出问题问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等即sin(2kx)sin x，cos(2kx)cos x(kZ)问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2就重复一次问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是导入新知1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期2正弦、余弦函数的周期性正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)都是周期函数，2k(kZ，且k0)都是它们的周期最小正周期为2.化解疑难细解周期函数(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(xT)f(x)成立，即x的任意性，否则不能说yf(x)是周期函数(2)并非所有周期函数都有最小正周期例如，对于常数函数f(x)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期(3)在周期函数yf(x)中，若xD，则xnTD(nZ)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.正弦、余弦函数的奇偶性提出问题问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称问题2：诱导公式sin(x)sin x，cos(x)cos x体现了函数的什么性质？提示：奇偶性导入新知正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数化解疑难函数yAsin(x)(A0)或yAcos(x)(A0)奇偶性的判断方法由于函数yAsin x(A0)是奇函数，yAcos x(A0)是偶函数，因此判断函数yAsin(x)(A0)或yAcos(x)(A0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为yAsin x(A0)或yAcos x(A0)函数的周期例1求下列三角函数的周期：(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin，xR；(4)y|cos x|，xR.解(1)因为3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y3sin x的周期为2.(2)因为cos2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(3)因为sinsinx2sin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(4)y|cos x|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y|cos x|的周期为.类题通法求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：公式法，即将函数化为yAsin(x)b或yAcos(x)b的形式，再利用T求得；图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期活学活用求下列函数的最小正周期：(1)y3sin；(2)ycos|x|.答案：(1)4(2)2三角函数的奇偶性例2(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性解析(1)(1)A(2)f(x)sincosx，f(x)coscosx，函数f(x)sin为偶函数类题通法与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)活学活用1函数ycos的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数也是偶函数答案：A2若函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则等于()A0B.C.D答案：C三角函数的奇偶性与周期性的应用例3已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f的值为()AB.C D.答案D类题通法解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题活学活用已知f(x)是以为周期的偶函数且x时，f(x)1sin x，求x时，f(x)的解析式答案：f(x)1sin x，x典例函数y3sin的最小正周期是，则a_.解析，|a|2，a2.答案2易错防范1函数yAsin(x)的最小正周期为，若忽视这一点，则易得出a2的错误答案2对于函数yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)，T.成功破障函数y2cos的最小正周期为4，则_.答案：随堂即时演练1函数ycos的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数答案：A2函数f(x)7sin是()A周期为3的偶函数B周期为2的奇函数C周期为3的奇函数D周期为的偶函数答案：A3f(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇4函数ycos的最小正周期是_答案：45求y|sin x|cos x|的最小正周期，并判断其奇偶性答案：最小正周期为；偶函数课时达标检测一、选择题1(陕西高考)函数f(x)cos的最小正周期是()A.BC2 D4答案：B2函数y4sin(2x)的图象关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线x对称答案：B3已知函数f(x)sin1，则下列命题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数答案：B4已知aR，函数f(x)sin x|a|，xR为奇函数，则a等于()A0 B1C1 D1答案：A5函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A10 B11C12 D13答案：D二、填空题6函数f(x)sin(0)的周期为，则_.答案：87函数f(x)的奇偶性为_答案：非奇非偶函数8若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.答案：三、解答题9已知函数ysin x|sin x|.(1)画出函数的简图(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期解：(1)ysin x|sin x|图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2.10设有函数f(x)asin和函数g(x)bcos(a0，b0，k0)，若它们的最小正周期之和为，且fg，fg1，求这两个函数的解析式解：f(x)和g(x)的最小正周期和为，解得k2.fg，asinbcos，即asinbcos.ab，即ab.又fg1，则有asinbcos1，即ab1.由解得ab1，f(x)sin，g(x)cos.11已知函数y5cos(其中kN)，对任意实数a，在区间