高三数学大纲版2.3 函数的单调性与最大（小）值课件.ppt

1 函数的单调性 1 单调函数的定义 设函数f x 的定义域为i 如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在上是增函数 若 则f x 在上是减函数 2 单调区间的定义 若函数f x 在区间d上是或 则称函数 f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做 f x 的单调区间 2 3函数的单调性与最大 小 值 要点梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 区间d 区间d 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最大值 2 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 则称m是f x 的最小值 3 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 f x m f x0 m f x m f x0 m 2 利用函数的运算性质 如若f x g x 为增函数 则 f x g x 为增函数 为减函数 f x 0 为增函数 f x 0 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 f x 为减函数 3 利用复合函数关系判断单调性 法则是 即两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 同增异减 增函数 减函数 4 图象法 5 奇函数在两个对称的区间上具有的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有的单调性 6 导数法 若f x 在某个区间内可导 当f x 0时 f x 为函数 当f x 0时 f x 为函数 若f x 在某个区间内可导 当f x 在该区间上递增时 则f x 0 当f x 在该区间上递减时 则f x 0 相同 相反 增 减 1 已知函数y f x 是定义在r上的增函数 则f x 0的根 a 有且只有一个 b 有2个 c 至多有一个 d 以上均不对 解析 f x 在r上是增函数 对任意x1 x2 r 若x1 x2 则f x1 f x2 反之亦成立 故若存在f x0 0 则x0只有一个 若对任意x r都无f x 0 则f x 0无根 基础自测 c 2 2008 保定联考 已知f x 是r上的增函数 若令f x f 1 x f 1 x 则f x 是r上的 a 增函数 b 减函数 c 先减后增的函数 d 先增后减的函数 解析特殊值法 取f x x 则f x 1 x 1 x 2x为减函数 b 3 若函数f x x2 a2 4a 1 x 2在区间 1 上是减函数 则a的取值范围是 a 3 1 b 3 1 c 1 3 d 1 3 解析 f x 是二次函数且开口向上 要使f x 在 1 上是单调递减函数 则必有即a2 4a 3 0 解得1 a 3 c 4 函数f x x3 ax2 bx c 其中a b c r 则a2 3b 0时 f x 是 a 增函数 b 减函数 c 常数函数 d 单调性不确定的函数 解析 f x 3x2 2ax b 4a2 12b 4 a2 3b 0恒成立 所以f x 是增函数 a 5 2009 成都检测 已知函数f x x2 2x 3在闭区间 0 m 上最大值为3 最小值为2 则m的取值范围为 a 1 b 0 2 c 2 d 1 2 解析 f x x 1 2 2 其对称轴为x 1 当x 1时 f x min 2 故m 1 又 f 0 3 f 2 3 m 2 综上 1 m 2 d 已知函数证明 函数f x 在 1 上为增函数 思维启迪 1 用函数单调性的定义 2 用导数法 证明方法一任取x1 x2 1 不妨设x10 1且 0 又 x1 1 0 x2 1 0 题型一函数的单调性判定及证明 于是故函数f x 在 1 上为增函数 方法二求导数得 a 1 当x 1时 f x 0在 1 上恒成立 则f x 在 1 上为增函数 方法三 a 1 y ax为增函数 又在 1 上也是增函数 在 1 上为增函数 探究拓展对于给出具体解析式的函数 判断或证明其在某区间上的单调性问题 可以结合定义 基本步骤为取点 作差或作商 变形 判断 求解 可导函数则可以利用导数解之 判断函数在定义域上的单调性 思维启迪 此题f x 是由两个函数复合而成 只需判断这两个函数的单调性 解函数的定义域为 x x 1或x 1 则可分解成两个简单函数 的形式 当x 1时 u x 为增函数 为增函数 在 1 上为增函数 题型二复合函数的单调性 当x 1时 u x 为减函数 为减函数 在 1 上为减函数 探究拓展 1 复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 它的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其单调性的规律为 同增异减 即f u 与g x 有相同的单调性 则f g x 必为增函数 若具有不同的单调性 则f g x 必为减函数 2 讨论复合函数单调性的步骤是 求出复合函数的定义域 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性 求与下列函数的最值与值域 1 2 3 思维启迪 1 二次函数配方 2 基本不等式或利用函数的单调性 3 式子的几何意义 数形结合法 解 1 由3 2x x2 0得函数定义域为 1 3 又t 3 2x x2 4 x 1 2 t 0 4 0 2 从而 当x 1时 ymin 2 当x 1或x 3时 ymax 4 故值域为 2 4 题型三求函数的值域或最值 2 方法一函数是定义域为 x x 0 上的奇函数 故其图象关于原点对称 故只讨论x 0时 即可知x 0时的最值 当x 0时 等号当且仅当x 2时取得当x 0时 y 4等号当且仅当x 2时取得 综上函数的值域为 4 4 无最值 方法二任取x1 x2 且x1 x2 因为 所以当x 2或x 2时 f x 递增 当 2 x 0或0 x 2时 f x 递减 故x 2时 f x 最大值 f 2 4 x 2时 f x 最小值 f 2 4 所以所求函数的值域为 4 4 无最大 小 值 3 将函数式变形为可视为动点m x 0 与定点a 0 1 b 2 2 距离之和 连结ab 则直线ab与x轴的交点 横坐标 即为所求的最小值点 可求得时 显然无最大值 故值域为探究拓展函数的值域与最值是相互关联的 求出了函数的值域也就有了函数的最值 解答过程中应注意等价转化 数形结合思想及导数的工具性 12分 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 0 f x2 x1 1 2分 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 题型四函数单调性与不等式 f x2 x1 1 0 5分 f x2 f x1 即f x 是r上的增函数 6分 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 8分 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是r上的增函数 3m2 m 2 2 10分 解得故解集为12分探究拓展f x 在定义域上 或某一单调区间上 具有单调性 则f x1 f x2 f x1 f x2 0 若函数是增函数 则f x1 f x2 x1 x2 函数不等式 或方程 的求解 总是想方设法去掉抽象函数的符号 化为一般不等式 或方程 求解 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行 方法与技巧 1 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 1 设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 然后变形 3 判定f x1 f x2 的符号 4 根据定义作出结论 2 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 3 重要性质 1 注意函数y f x 与y kf x 的单调性与k k 0 的相关性 2 注意函数y f x 与的单调性间的关系 3 定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数和的形式 失误与防范 1 单调性首先要求函数的定义域 单调区间是定义域的子区间 单调性的定义中x1 x2要有任意性 且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性 例如 对函数 由于f 1 f 2 所以函数是单调递减函数 这是错误的说法 其实函数在 0 上是单调递增 在 0 上是单调递增 3 单调区间不能用并集表示 因为两个区间的并集 并不一定是一个区间 4 分段函数在连续区间上具有单调性时 要注意在区间端点处函数值的大小 1 讨论函数的单调性 解方法一显然f x 为奇函数 所以先讨论函数f x 在 0 上的单调性 设x1 x2 0 则 当0 x2 x1时 则f x1 f x2 x2 时 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在上是增函数 f x 是奇函数 f x 分别在上为增函数 f x 分别在上为减函数 方法二由可得当时或时 f x 0 f x 分别在上是增函数 同理或时 f x 0即f x 分别在上是减函数 2 求函数的单调区间 解由4x x2 0 得函数的定义域是 0 4 令t 4x x2 则 t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的单调减区间是 2 4 增区间是 0 2 又在 0 上是减函数 函数的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 3 在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 某公司每月最多生产100台报警系统装置 生产x x 0 台的收入函数为r x 3000 x 20 x2 单位 元 其成本函数为c x 500 x 4000 单位 元 利润是收入与成本之差 1 求利润函数p x 及边际利润函数mp x 2 利润函数p x 与边际利润函数mp x 是否具有相同的最大值 解 1 p x r x c x 3000 x 20 x2 500 x 4000 20 x2 2500 x 4000 x 1 100 且x n mp x p x 1 p x 20 x 1 2 2500 x 1 4000 20 x2 2500 x 4000 2480 40 x x 1 100 且x n 2 74125 当x 62或63时 p x max 74120 元 因为mp x 2480 40 x是减函数 所以当x 1时 mp x max 2440 元 因此 利润函数p x 与边际利润函数mp x 不具有相同的最大值 4 2009 广西河池模拟 已知定义在区间 0 上的函数f x 满足且当x 1时 f x 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则由于当x 1时 f x 0 所以即f x1 f x2 9 x 9或x9或x 9 1 函数f x ln 4 3x x2 的单调递减区间是 a b c d 解析函数f x 的定义域是 1 4 u x x2 3x 4的减区间为 e 1 函数f x 的单调减区间为 d 2 d3 函数y lg x2 2x m 的值域是r 则m的取值范围是 a m 1b m 1 c m 1d m r 解析 函数的值域是r 令u x x2 2x m 则u x 的值域应包含 0 故 4 4m 0 m 1 c 4 函数f x x r 的图象如下图所示 则函数g x f logax 0 a 1 的单调减区间是 a b c d 解析y logax 0 a 1 为减函数 根据复合函数的单调性及图象知 当即时 g x 为减函数故其单调减区间为 c 5 c6 c7 已知y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若f m 1 x1 则x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x 在 上为增函数 2 x 2 x 1或2 x 3 11 1 证明任设x10 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 0 a 1 12 已知函数y f x 对任意x y r均有f x f y f x y 且当x 0时 1 判断并证明f x 在r上的单