【电气与自动化】第八章 控制系统的状态空间表达式教学文稿.doc

【电气与自动化】第八章 控制系统的状态空间表达式教学文稿 1电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论第八章控制系统的状态空间表达式8.1状态空间描述的概念8.2状态空间表达式的建立8.3状态向量的线性变换8.4从状态空间表达式求传递函数阵本章小结2电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论8.1状态空间描述的概念 一、基本定义先看一个RLC电路的例子图中，u-输入变量列写微分方程消去中间变量传函表示形式RLcu u iC图图8-1duC idtdiL R i u udt?2c duduLC RCu udtdt?2()1()1cU sUsLCS RCS?3电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶微分方程表示形式向量矩阵表示形式在向量矩阵表示形式中，如果令，则其变为111cduu idtcdi Riu iudt L LL?11100c cCRL LLu uui i?1cx u?2x i?111112200CRL LLx xux x?4电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论再令则可写为 1、状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。 如果给定了t=to时刻这组变量值，和t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。 2、状态向量以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 如x x11(t)、x x22(t)?x n n(t)是系统一组状态变量。 则状态向量为1211100,CRL LLxX Abx?X AXbu?1212()()()(),().().()Tnnx tx tXt X x tx tx tx t?或5电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论6电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论若指定i为输出，则若指定均为输出，则 二、状态空间表达式系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为2y ix?1201xyx?,cu i1122cy u xy ix?11221001y xy x?Y CX?Y CX?X AXbu?7电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为其中X AXBUY CXDU?12nxxXx?1111nn nna aAa a?1111rn nrb bBb b?12ruuUu?N维向量系统矩阵nn方阵输入矩阵控制矩阵nr维r维输入向量8电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论12myyYy?m维输出向量1111nm mnCc c?输出矩阵mr维1111rm mrddDd d?直接传递矩阵mr维9电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 三、状态空间描述的方框图单线表示一维信号，双线表示多维信号。 既反映了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对外部输出的影响。 四、状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。 U?A DC xY+B X10电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论原则系统的阶数等于积分器的个数，取每个积分器的输出为状态变量。 a，由微分方程绘模拟结构图例移项210xaxaxaxbu?210x axaxaxbu?b u?2a1a0axxx x11电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论b，由方框图绘模拟结构图例1KT s?1111111K K K sTs T sT TsT?1TKT12电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论c，由状态空间表达式绘模拟结构图例d、多输入多输出系统的模拟结构图1223312312632x xx xx x x x uy x x?2?36u y1x2x3x3x13电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 五、状态空间表达式的说明 1、状态变量组的最小性体现在状态变量x x11(t),x x22(t),x n n(t)是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最小个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为不需要的。 22、状态变量组在数学上的特性体现在x x11(t),x x22(t),x n n(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。 33、状态空间描述考虑了“输入状态输出”这一过程，揭示了问题的本质 44、输入引起状态变化是一个运动过程，表现为向量微分方程；状态决定输出是一个变换过程，表现为代数方程。 14电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 5、系统状态变量的个数等于系统中独立贮能元件的个数。 6、对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。 7、系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，适合于计算机计算。 8、对结构和参数已知的系统，可依据物理机理列写状态方程。 9、一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量.单从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适。 15电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论8.2状态空间表达式的建立 一、根据模拟结构图列写状态空间表达式（一）一阶系统的状态空间描述【例11】一阶系统的运动方程不含输入函数的导数项.运动方程:传函:一阶系统方块图111()()11TTy ykuY s KKsU sTsT s?U(s)Y(s)KTS-11T+16电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论系统模拟结构图由模拟结构图写出状态方程:1Kx x uT Ty x?输出方程:?KT1Tu y+_xx【例22】设一阶系统的运动方程包含输入函数的导数项.运动方程:11111()()1()111T TTy y Ku uYs sKsKUs TsTs s?传函:17电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶系统运动方程方块图:)()(s Y s UKT1T?1?s?模拟结构图:xx?y uTKT1?18电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论根据模拟结构图,写出状态方程,输出方程（二）二阶系统的状态空间描述【例33】方程中不包含输入函数导数项.运动方程:式中为阻尼比.传递函数:11() (1)Kx x uT TKKy x x x x ux uT T T T?22Ty TyyKu?122221122()()21()211()Ys KK sUs Ts TsTs sT T?19电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论模拟结构图:根据模拟结构图，写出状态方程与输出方程.122x xx?2TKT?2?21T?y x?1u?2212212121KTT Tx xx xx uy x?221112212xx10KT TTxxux xxyx?20电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例44】方程中含有输入函数的一阶导数.运动方程22()Ty TyyKuu?传递函数222212122211211211() (1)()21()()1()1()T TTTYs KsUsTsTsK s sT s s s s?状态变量图?2TK?T?2?21T?y u12xx+21电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论状态方程与输出方程22122121212KTT Tx xx xx uyxx?221121221xx1KTTTx xux xxyx?（三）n n阶线性系统的状态空间描述.n n阶线性系统传递函数为: (1)1111111111 (1)11()()()1nnn nn nn nnn nn nn nbs bs bY sWsUs s as a sabs bs bsasa s as?22电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论输出函数的拉氏变换为令:或 (1)1111 (1)11()()1nnn nn nn nbs bs bsYs Usas as as?1 (1)111()()1n nn ns Usasasas?1212()()()()()nnsUsassass ass? (1) (1)111111()()()()()()nnnn nnn nYs sbs bs bsbs sbs sbs s?可得:23电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论模拟结构图1a?na?2a?1bnb2b?)(s?nx?1?nx?)(s U)(s Y1?s1x1x?1?s1?s24电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论由模拟结构图写出n n阶线性系统状态方程与输出方程12231112211n nn n n n nx xx xx xx a x a x a x axu?1122111210100000100000101n nn n n n nx xx xuxxa a a a xx?25电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论输出方程即?11221112121n n n nn nny b x b x bx bxxxy b bbbx?22()32() (712)Ys s sUs s s s?12312()32()1712Ys s sUs s s?【例55】设线性系统的传递函数为:试绘制系统的状态变量图.并根据状态变量图写出系统的状态空间描述.解:26电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论令:模拟结构图12123()()1712()() (32)U sss sY s s s s?yxxx123u123-7-1227电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论状态空间描述?1122331230100001001271231x xxx ux xxy xx?28电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 二、据系统方框图导出系统状态空间描述【例66】已知系统方块图,试导出系统状态空间描述.解:1)把各环节传递函数化为最简形式组合.原方块图化为:()()()sz ksp ssaUs Ys?iiks p?11()s z z pspspk ks sas sa?) (1)(1s Ys Uas skpsp z?29电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论2)把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联33）把具有最简单传递函数（）的环节输出选取为状态变量。 化简为?1223131311122133131()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()k k k ks sssz psps ax s x sx s x s U s x s x s U s x sx s U s x ssx sax s x ssx s kxs kxs kU ssx sp zxspx sz pU s?iiks p?)()(1s Ys Uas skpsp z?13x2x1x?30电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论拉氏反变换状态方程输出方程:?112213313112233123()()10000100x a x xx k x k x k ux p zxp x zp uxx axk k xkup zp zpx xxy xx?31电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 三、系统的一般时域描述化为状态空间描述在经典控制理论中,控制系统的时域模型为线性定常系统的状态空间表达式为要解决的问题:选取适当的状态变量,并由定出相应的系数矩阵A、B、C、D.() (1)() (1)11011n n n nnn nn yay ayaybub ububu?x AxBuy CxDu? (1)(0,1,)i jainbj n?32电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 1、方程中不包含输入函数的导数项微分方程（ （1）选择状态变量选择为系统的一组状态变量.令: （22）将高阶微分方程化为状态变量的一阶微分方程组() (1)110n nn nyay ayaybu? (1),nyyy y?123 (2)1 (1)nnnnx yx yx yx yx y?12,nx xx33电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论（ （3）化为向量形式状态方程为:输出方程为:1223 (1)11121nn nnn n n n nx y xx y xx y xxy ax ax ax b u?112211010010n n n n nx xxxux a a ax b?100yx?34电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例77】设系统输入-输出微分方程为:若可导出状态方程和输出方程61166yyyyu?12,n xyxyxy?1122330100001061166x xxx uxx?123100xy xx?35电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 2、方程中包含输入函数的导数项微分方程10 (1) (1)201 (2) (2) (1)3012 (1) (1) (2) (1)0121() (1)1011 (1)n n nn n nn n nn n nx y ux y u ux y u u ux y u u u uxy u u u u?算法 一、状态变量选择原则使导出的一阶微分方程组右边不出现u u的导数项。 （11）选择状态变量令:() (1)() (1)110110n n n nnn n yay ayaybub ububu?36电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论式中系数待定.用用分别乘以 （1）式中相应方程两端，并移项，得 （2）式01n?11,n na a a?10 (1) (1)1121011 (2) (2) (1)223202122 (1) (1) (2) (1)1110111211() (1)1011n n nn n n nn n n n nn n nn n nn n nn n nayax a ua yax a u a uayax a u a ua uay ax auauaua uyxu uuu?不难看出，上式各方程左端相加等于线性微分方程的左端，右端等于线性微分方程的右端，则有37电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论?11121012110211xx22110111101011()()()()nn nnnn nn nnnnnnnn nn nx axaxaxua ua aua a aua a aubu bububu?等式两边的系数应相等，由此得(0,1,)kuk n?0011102211xx22110 (3)nnnnn nbb ab a ab a a a a?38电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 （22）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式.考虑到:对 (1)式求导:111210nnn nxaxaxax?1021xx2111112110nnnnnnnnnnxyux uxyuux uxx uxxuaxaxax uyxu?39电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 （33）化为向量形式状态方程:输出方程:1121010000100001nnnnxxua a aa?0100yxu?40电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例88】系统输出-输入微分方程为:系数:按 (2)式求得状态变量为123012318,192,6400,0,160,640aaab bbb?0011102211203312213000160640181602240nbbabaabaaa?10xx012160xyu yxyuu yxyuuu yu?18192640160640yyyyuu?41电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论状态空间描述:输出方程:1122330100001160640192182240x xxx uxx?123100xy xx?42电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论算法 二、引入微分算p=d/dt， （11）式的输入输出描述又可表示为如下形式11101110 (4)m mbpb pbpbmmn npa p apanuy?当m=n时，上式有理分式是真的，而当m 下面加以分别讨论。 （aa）当m （44）式进一步改写为111101()110 (5)n npapapanm mbpb pbpbym myuy?或将其表示为如下形式43电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论() (1) (1)110() (1) (1)110 (6)n nnmmm myayayayuyby bybpby?选取状态变量组 (1) (1)12,nnxyxy xy?由此就可得到 (1)12 (2)23 (1)10112101121 (7) (8)nn nnn nmmx yxxyxxyxx axaxax uybxbx bx?和44电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论由表示状态向量，即可导出对应于输入输出描述 （11）的状态空间描述为?1,Tnx xx?0110010 (9)0101,0,0nmx xuaaay bbx?45电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例99】给定系统的输入输出描述为 (3) (2) (1) (1)16194640160720y y yyuu?利用 （99）即可定出相应的一个状态空间描述为?112233123010000106401941617xx00xxxx uxxxy xx?46电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 （22）当m=n时，先将 （44）中的有理分式进行严格真化，可导出1()()1100 (10)1110nnb bap bbannnnn npap apanuyb?由此可进而表为() (1) (1)110 (1)1100 (11)()()n nnnn nnnnyay ayayuybbay bbaybu?选取状态变量组 (1) (1)12,nnxyxy xy?47电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论?0110011010 (12)0101(),()nnnnnnua aaybba bba bu?xxx对应于输入输出描述 （11）的状态空间描述为此为能控标准型！48电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例10】给定系统的输入输出描述为 (3) (2) (1) (3) (1)161946404160720yyy yuuu?利用 （12）即可定出相应的一个状态空间描述为?112233123010000106401941611840616644xxxx uxxxy x ux?49电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 四、系统的频域描述化为状态空间描述控制系统的频域描述（传递函数）化为状态空间描述.方法采用部分分式法. 1、控制系统传递函数的极点为两两相异.若传函极点为两两相异。 则部分分式的形式为:式中为系统中两两相异极点.111111()()()nn nnnn nbsbsb YsWsUs sasasa?1212()()()nnk k k YsWsUs ss ss ss?12,ns ss50电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论为待定系数.可按下式计算（ （1）选择状态变量令为状态变量的拉氏变换式,则(1,2,)iki n?1212()()111()()()()ii issnnk LimWss sYs k Us k Us k Uss sssss?1()()(1,2,)iixs Usi nss?12,nk k k51电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论（ （2）化为状态变量的一阶方程组1121121111()()()()()()()()nnnns ss ss sssx s U sx s U sx s U sxs Us?111222111()()()()()()()()()()()()nnnnnnsx ss xsU ssx ss xsUssx ss xsUssx ss xsUs?52电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论及及对上式进行拉氏反变换,得1122()()()nnYkxskxs kxs?1112221111122()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnx t s x tu tx t s xtu txt s xtu txt s xtu tyk xt k xtk xt?53电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论3.向量形式即状态方程称其为对角线规范形！?1112221121xx01nn nnnx x sxsxus x xxxy k k kx?xx01nsss?xxu54电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例11】设,试求其状态空间描述.解:其极点为,而待定常数为32()6()()6116YsWsUssss?1111222233336()() (1)3 (1) (2) (3)6()() (2)6 (1) (2) (3)6()() (3)3 (1) (2) (3)sssss sk LimWs ss Lim sss skLimWs ss Lim sssskLimWs ss Limssss?121,2,3ns ss?55电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论?11223312310010xx031363xxxxuxxxy xx?相应的状态空间描述为56电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 2、控制系统传递函数的极点为重根（a）传递函数的极点为一个重根形式:s1为为n重极点，为待定常数。 按下式计算1）选择状态变量111121111()()()()()nn nk k kYsWsUs ssssss?111111112111111()() (1)!111()()()()()()ini issn nndk LimWsssi dsYs kUskUskUsssssss?12111111111()()()()()()n nxsUs Usx sssssssss?1(1,2,)iki n?57电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论2）化为状态变量的一阶方程组及对上式进行拉氏反变换2312111112111111111()()()()()()1111()()()()()()1()()nnnnnnx sUsUsx sssssssssxsUsUsxsssssssssxsUsss?1112212311111111221()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnsx ssxsxssx ssxsxssx ssxsxssx ssxsUsY skxskxskxs?58电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论3）向量形式1112212311111111221nnnnnnnx sxxx sxxxsxxxsxuy kxkxkx?1112211121112110010101nnnnxxsxx susxxxxyk k kx?约当规范形!59电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例12】设,三重极点为s=2,待定常数状态空间描述为23251() (2)s sW ss?1(1,2,3)ik i?32112231222231322() (2) (251)19() (2) (45)1314() (2)22!2sssssk LimW ssLimssdk LimWssLimsdsdk LimWssds?11223312321000210002119132xxxxuxxxy xx?60电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论(b)传递函数的极点为k个重根设设为重根,为重根,为重根,且状态空间描述为22s lk ks l11s l22kl l l n?61电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论11111112121112211112222212111111kkl ll ll lllllkn l n lkn lknx xsx xsx xsx xsx xsxs xsxxsxsx?1xx001001kkn lnuxx?62电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论1211112111kl l k klnxyk k kkkkx?121121212121211112211101000,110000100100000,111,kkkkkl l kkk lsss sJJs sssJsBB BC kk CkkCkk?k?及令63电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论则?11211000000k kkBJJx xuJBy C C Cx?称为Jordan(约当)规范形64电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 3、控制系统传递函数同时具有单极点和重极点,令为单极点,为重极点,为为重极点,且且状态方程12,ksss11ks l?k mms l?121mm iiklllkln?65电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论1111111111111111m mkkkkk kkklklkk mnln lkmn nkmsx xsxxsxxsxxss xxsxxs?110101u?66电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论输出方程11121,11,1,m kkkl kmkmlnxy kkkkkkkx?67电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 五、根据物理机理建立状态空间表达式方法根据系统含有储能元件的个数确定最小变量组，根据系统物理机理列写微分方程，最后写出矩阵形式。 【例13】R R-CC-L网络如图所示。 e(t)-输入变量，-输出变量。 试求其状态空间描述。 解1)确定状态变量选和构成最小变量组,组成状态向量x=2()Ru tculiculi?()e tR1L?u R2R2c ic il68电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论2)列写网络方程:消去不是所确定的状态变量,即将代入由 （33）式得dudti c?112()() (1)()() (2)LC LCL CCdiRi iL etdtRi iuRi et?11211() (3)() (4)C CLCC LLduduRi RCu RCetdt dtdudiRi RCL etdtdt?112121211() (5)()()()CC LduRu ietdt RRCRRCRRC?69电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论由 （44）式得 （55）式代入 （66）式3)状态空间描述111() (6)C LLdudi RC Ri etdtLdt LL?1122121212()()()()LC LdiR RR Ru ietdt RRL RRL RRL?状态方程1121212112212121211()()()()()()()C CLLu uRR RCR RCR RCetR RR RR RL R RLR RL ii?70电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论令令状态向量1121212112212121222212122121212121111()()(),()()(),RRR CRRCRRCA BR RR RRR LRRLRR LRRR RCDR RRRRR?C CLLu uX Xi i?2()Ru ety u?输入向量:输出向量:2212222121212()CR CC LduRRR RuRi RCuietdt RR RRRR?输出方程:?22122121212()CRLu RRRRueti RRRRRR?71电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论因此状态空间描述的数学模型可表示为状态方程和输出方程.即为x AxBuy CxDu?72电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论8.3状态向量的线性变换 一、系统状态空间表达式的非唯一性设给定系统为我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量X作线性变换，得到另一状态向量z，设变换关系为代入状态方程和输出方程，得到新的状态空间表达式由于T为任意非奇异矩阵，所以系统的状态空间表达式是不唯一的。 0 (0)X AXBu X Xy CXDu?1X Tz z TX?则11110; (0) (0)XTzATzBu zTATzTBuz TX TXyCXDuCTzDu?11,zAzBu ATATBTByCzDuCCTDD?其中，73电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例14】某系统状态空间表达式为11）若取变换矩阵则变换后的状态向量为?0221; (0)130103X Xu XyX?1116xx,xx2TT?即111221xx132121322z TX Xzxz xx?即新的状态向量是原状态向量的线性组合12,zz12,xx74电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论变换后即变换后的状态空间表达式为?11111101026xx13132023xx011301262036020A TATB TBC CT?10100102316010111213121z Az Bu zuy Cz zz T x?75电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论22）若取变换矩阵则变换后的状态向量为变换后的状态空间表达式为1222111,1112TT?即121112z TX X?11222102021102211121213111xx21110;022121121033311zTATz TBu zuz uzTxy CTzzz?76电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论 二、系统特征值的不变性及系统的不变量 1、特征值定义:设线性定常系统状态方程为:式中.A为常阵,B为常阵。 系统特征值就是其系数矩阵A的特征值。 即特征方程的根。 2、特征值性质1）一个n维系统的方阵A，有且仅有n个特征值。 2）物理上存在的系统，方阵A为实常阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。 XAXBu?nn?n r?0I A?nn?nn?77电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论3)对系统作线性变换，其特征值不变。 证明作线性非奇异变换，则有若要证其特征值不变，则必证又1?X P X?X PX?X CX CPCX yu B X ABu PX AP P BuPX A PX PX?11111?1I AI PAP?111111()I PAP PP PAP P I APP I AP P P I AI A?78电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论4）设为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量，使5）设为系数矩阵A的特征值,是A的分别属于特征值的特征向量。 当两两相异时，线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的。 iiiAV V?，则称为A A的属于的特征向量.iVi?121,2,3,Ti ii niVvv v in?12,n?12,nVV V12,n?12,nVV V?11121212221212nnnn nnnv v vv v vP VV Vv v v?iV79电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论6)若系统矩阵A具有如下形式则其特征多项式为特征方程的根就是系统的极点，即系统的特征值。 121010000100001nnnAa aaa?111nnnnIA aaa?1110nnnnIAa aa?80电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论【例15】求的特征向量。 解先求特征值，由11）对应于的特征向量设01161166115A?3212311611606115611601,2,3I A?11?1P1112131pP pp?81电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论按照特征向量的定义，有则乘开后得到解之得令111AP P?111121213131011611