高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理课堂导学案.docx

第一节 平行线等分线段定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例1】如图1-1-1,已知ABC中,AD是BC边上的中线,E为AD中点,BE的延长线交AC于F.图1-1-1求证:AF=AC.思路分析：欲证AF=AC,只要取FC的中点G,然后证AF=FG=GC即可,或者过D作DGBF,再证AF=FG=GC.证法一:取FC中点G,BD=DC,DG为BFC的中位线.DGEF.在ADG中,E为AD中点,F为AG中点.AF=FG=GC.AF=AC.证法二:过D作DGBF交AC于G.在ADG中,E为AD中点,AF=FG.在BCF中,D为BC中点,FG=GC.AF=FG=GC.AF=AC.温馨提示 证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等. 证法二是作平行线,直接利用定理或推论.二、线段和差的证明问题【例2】如图1-1-3,ABCD中,AC、BD相交于O,以A为端点引射线AM,分别过B、C、D向AM作垂线,垂足分别为B、C、D.求证:AD=BC.图1-1-3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出O是ACC的边AC的中点,也是梯形BDDB的腰BD的中点.为此,只要过O作OOAM或OODD易得O分别为AC和BD的中点,即OA=OC,OD=OB,两式相减即得证.证明:作OOAM,O为垂足,ABCD为平行四边形,AO=CO,BO=DO.又DD,OO,BB,CC都垂直于AM,DDOOBBCC.OA=OC,OD=OB.OA-OD=OC-OB,即AD=CB.三、探索线段间的关系【例3】如图1-1-5,已知M是AB中点,A、B在l的两侧,分别过A、B、M作直线l的垂线,垂足分别为C、D、N.请探讨AC、BD、MN的关系并证明.图1-1-5(1)思路分析：假设B、D重合,则图形变为图1-1-5(2).图1-1-5(2)ACl,MNl,MNAC.又M是中点,N是BC中点,MN是ABC的中位线.MN=AC.而当B、D不重合时,要么MN=(AC+BD),要么MN=(AC-BD).通过观察,A、B在l异侧时MNAC,因此我们猜想MN=(AC-BD).下面我们给出猜想的证明.解:如图1-1-5(1),连结DM并延长交AC于E,AC、MN、BD都垂直于l,ACMNBD.又M是中点,N是CD的中点.MN是CDE的中位线.MN=EC= (AC-AE).AEBD,A=B.在AME和BMD中,MN=(AC-BD).温馨提示 容易证明A、B在l同侧时,MN=(AC+BD).各个击破类题演练1如图1-1-2,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,M是CD的中点,求证:MA=MB.图1-1-2证法一:过M点作MNBC交AB于N,则ADMNBC.DM=MC，AN=MC.又ABBC,MNAB.MN是AB的垂直平分线.MA=MB.证法二:取AB中点N,AN=BN,DM=MC,MN是梯形ABCD的中位线.MNADBC.又ABBC,MNAB.MN是AB的中垂线.MA=MB.类题演练2如图1-1-4,已知梯形ABCD中,ADBC,E、F分别是AB、DC的中点,连结EF,交BD于G,交AC于H.求证:GH=(BC-AD).图1-1-4证明:E、F为AB、CD的中点,EF为梯形ABCD的中点，EFADBC.BG=DG,AH=CH.EG、EH分别为ABD和ABC的中位线.EH=BC,EG=AD.EH-EG=BC-AD.GH=(BC-AD).温馨提示 在证明线段相等时有时,通过将有关线段作和、差来证明.类题演练3如图1-1-6,梯形ABCD中,ABCD,G、H分别是梯形对角线的中点.图1-1-6探讨GH与AB、CD的关系.解析：猜想当A、B重合,AC与BC重合,梯形变为三角形,如图1-1-6.由三角形中位线定理知GH=CD.一般地,GH肯定与AB有关,可能GH=(CD+AB)或GH=(CD-AB).通过观察,GH不大于CD,所以猜想GH=(CD-AB).下面给出证明.证明:如图1-1-7,图1-1-7连