专题探究课 立体几何问题中的热点题型.ppt

热点一 求解空间几何体的表面积和体积 热点二 空间点 线 面位置关系 热点三 平面图形的翻折问题 热点四 立体几何中的探索性问题 热点五 利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 热点一求解空间几何体的表面积和体积 对于空间几何体的表面积与体积 高考考查的形式已经由原来的简单套用公式渐变为三视图与柱 锥 球的接 切问题相结合 特别地 已知空间几何体的三视图求其表面积 体积已成为近两年高考考查的热点 而求解棱锥的体积时 等体积转化是常用的方法 转化原则是其高易求 底面放在已知几何体的某一面上 求不规则几何体的体积 常用分割或补形的思想 将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解 热点突破 热点一求解空间几何体的表面积和体积 一审 二审 三审 三视图 根据三视图的规则还原几何体 所求几何体的构成 由一个直三棱柱截掉一个三棱锥 体积的计算 例1 2014 重庆卷 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12B 18C 24D 30 热点突破 热点一求解空间几何体的表面积和体积 例1 2014 重庆卷 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12B 18C 24D 30 解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形 由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱 截取得到的 即直三棱柱ABC A1B1C1截掉一个三棱锥D A1B1C1得到的 如图 其中AC 4 BC 3 AA1 5 AD 2 BC AC 所以该几何体的体积 答案C 热点突破 组合体的表面积与体积的求解是高考考查的重点 解决此类问题可通过分割或补形将组合体变为规则的柱体 锥体 球等几何体的表面积和体积问题 然后根据几何体表面积与体积的构成用它们的和或差来表示 在求解过程中应注意两个问题 一是注意表面积与侧面积的区别 二是注意几何体重叠部分的表面积 挖空部分的体积的计算 热点一求解空间几何体的表面积和体积 热点突破 热点一求解空间几何体的表面积和体积 训练1 1 一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 解析 1 由三视图 可知该几何体是 故该几何体的表面积为球体表面积的 热点突破 热点一求解空间几何体的表面积和体积 训练1 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E为线段B1C上的一点 则三棱锥A DED1的体积为 热点突破 热点二空间点 线 面位置关系 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明 一般以解答题的形式出现 试题难度中等 重在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力 在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用 热点突破 热点突破 热点二空间点 线 面位置关系 例2 14分 2014 北京卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 1 证明在三棱柱ABC A1B1C1中 BB1 底面ABC 所以BB1 AB 又因为AB BC 所以AB 平面B1BCC1 所以平面ABE 平面B1BCC1 热点突破 例3 14分 2014 北京卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 因为AC A1C1 且AC A1C1 所以FG EC1 且FG EC1 所以四边形FGEC1为平行四边形 所以C1F EG 又因为EG 平面ABE C1F 平面ABE 所以C1F 平面ABE G 2 证明法一如图 取AB中点G 连接EG FG 因为E F分别是A1C1 BC的中点 热点二空间点 线 面位置关系 热点突破 例3 14分 2014 北京卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 H 法二如图 取AC的中点H 连接C1H FH 因为H F分别是AC BC的中点 所以HF AB 又因为E H分别是A1C1 AC的中点 所以四边形EAHC1为平行四边形 所以C1H AE 又C1H HF H AE AB A 所以平面ABE 平面C1HF 又C1F 平面C1HF 所以C1F 平面ABE 热点二空间点 线 面位置关系 热点突破 例3 14分 2014 北京卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 H 3 解因为AA1 AC 2 BC 1 AB BC 所以三棱锥E ABC的体积 热点二空间点 线 面位置关系 1 证线面平行的方法 利用判定定理 关键是找平面内与已知直线平行的直线 可先直观判断平面内是否已有 若没有 则需作出该直线 常考虑三角形的中位线 平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 若要借助于面面平行来证明线面平行 则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行 此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 热点二空间点 线 面位置关系 热点突破 热点突破 证明 1 法一因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 所以D1D BD 又因为AB 2AD BAD 60 在 ABD中 由余弦定理得BD2 AD2 AB2 2AD ABcos60 3AD2 所以AD2 BD2 AB2 因此AD BD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 又AA1 平面ADD1A1 故AA1 BD 训练2 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 热点二空间点 线 面位置关系 热点突破 法二因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 所以BD D1D 如图 取AB的中点G 连接DG 在 ABD中 由AB 2AD得AG AD 又 BAD 60 所以 ADG为等边三角形 因此GD GB 故 DBG GDB 又 AGD 60 所以 GDB 30 故 ADB ADG GDB 60 30 90 所以BD AD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A 又AA1 平面ADD1A 故AA1 BD 训练2 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 热点二空间点 线 面位置关系 G 热点突破 2 如图 连接AC A1C1 设AC BD E 连接EA1 因为四边形ABCD为平行四边形 由棱台定义及AB 2AD 2A1B1知A1C1 EC且A1C1 EC 所以四边形A1ECC1为平行四边形 因此CC1 EA 又EA1 平面A1BD CC1 平面A1BD 所以CC1 平面A1BD 训练2 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 热点二空间点 线 面位置关系 E 热点突破 热点三平面图形的翻折问题 1 此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体 并以此为载体考查线线 线面 面面的位置关系及有关计算 2 试题以解答题为主 考查学生的空间想象能力和知识迁移能力 热点三平面图形的翻折问题 例3 2015 湖北八市联考 如图1 ABC是边长为6的等边三角形 E D分别为AB AC靠近B C的三等分点 点G为BC边的中点 线段AG交线段ED于F点 将 AED沿ED翻折 使平面AED 平面BCDE 连接AB AC AG形成如图2所示的几何体 1 求证 BC 平面AFG 2 求二面角B AE D的余弦值 1 证明在图1中 由 ABC是等边三角形 E D分别为AB AC的三等分点 点G为BC边的中点 易知DE AF DE GF DE BC 在图2中 因为DE AF DE GF AF FG F 所以DE 平面AFG 又DE BC 所以BC 平面AFG 热点突破 热点三平面图形的翻折问题 2 解因为平面AED 平面BCDE 平面AED 平面BCDE DE DE AF DE GF 所以FA FD FG两两垂直 以点F为坐标原点 分别以FG FD FA所在的直线为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系F xyz 例3 2015 湖北八市联考 如图1 ABC是边长为6的等边三角形 E D分别为AB AC靠近B C的三等分点 点G为BC边的中点 线段AG交线段ED于F点 将 AED沿ED翻折 使平面AED 平面BCDE 连接AB AC AG形成如图2所示的几何体 1 求证 BC 平面AFG 2 求二面角B AE D的余弦值 热点突破 热点三平面图形的翻折问题 设平面ABE的法向量为n x y z 显然m 1 0 0 为平面ADE的一个法向量 易知二面角B AE D为钝角 例3 2015 湖北八市联考 如图1 ABC是边长为6的等边三角形 E D分别为AB AC靠近B C的三等分点 点G为BC边的中点 线段AG交线段ED于F点 将 AED沿ED翻折 使平面AED 平面BCDE 连接AB AC AG形成如图2所示的几何体 1 求证 BC 平面AFG 2 求二面角B AE D的余弦值 热点突破 平面图形的翻折问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 热点三平面图形的翻折问题 热点突破 1 证明 点E F分别是AB CD的中点 EF BC 又 ABC 90 AE EF 平面AEFD 平面EBCF AE 平面EBCF AE EF AE BE 又BE EF 如图建立空间直角坐标系E xyz 翻折前 连接AC交EF于点G 此时点G使得AG GC最小 训练3 2015 福州质检 如图 直角梯形ABCD中 ABC 90 AB BC 2AD 4 点E F分别是AB CD的中点 点G在EF上 沿EF将梯形ABCD翻折 使平面AEFD 平面EBCF 1 当AG GC最小时 求证 BD CG 2 当2VB ADGE VD GBCF时 求二面角D BG C的平面角的余弦值 x y z 热点三平面图形的翻折问题 热点突破 则A 0 0 2 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 2 2 E 0 0 0 G 0 2 0 训练3 2015 福州质检 如图 直角梯形ABCD中 ABC 90 AB BC 2AD 4 点E F分别是AB CD的中点 点G在EF上 沿EF将梯形ABCD翻折 使平面AEFD 平面EBCF 1 当AG GC最小时 求证 BD CG 2 当2VB ADGE VD GBCF时 求二面角D BG C的平面角的余弦值 热点三平面图形的翻折问题 BD CG 热点突破 2 解设EG k AD 平面EFCB 点D到平面EFCB的距离即为点A到平面EFCB的距离 训练3 2015 福州质检 如图 直角梯形ABCD中 ABC 90 AB BC 2AD 4 点E F分别是AB CD的中点 点G在EF上 沿EF将梯形ABCD翻折 使平面AEFD 平面EBCF 1 当AG GC最小时 求证 BD CG 2 当2VB ADGE VD GBCF时 求二面角D BG C的平面角的余弦值 热点三平面图形的翻折问题 k 1 即EG 1 热点突破 法一设平面DBG的法向量为n1 x y z G 0 1 0 训练3 2015 福州质检 如图 直角梯形ABCD中 ABC 90 AB BC 2AD 4 点E F分别是AB CD的中点 点G在EF上 沿EF将梯形ABCD翻折 使平面AEFD 平面EBCF 1 当AG GC最小时 求证 BD CG 2 当2VB ADGE VD GBCF时 求二面角D BG C的平面角的余弦值 热点三平面图形的翻折问题 取x 1 则y 2 z 1 n1 1 2 1 平面BCG的一个法向量为n2 0 0 1 所求二面角D BG C的平面角为锐角 热点突破 法二过点D作DH EF 垂足为H 过点H作BG延长线的垂线HO 垂足为O 连接OD 平面AEFD 平面EBCF DH 平面EBCF OD OB DOH就是所求的二面角D BG C的平面角 训练3 2015 福州质检 如图 直角梯形ABCD中 ABC 90 AB BC 2AD 4 点E F分别是AB CD的中点 点G在EF上 沿EF将梯形ABCD翻折 使平面AEFD 平面EBCF 1 当AG GC最小时 求证 BD CG 2 当2VB ADGE VD GBCF时 求二面角D BG C的平面角的余弦值 热点三平面图形的翻折问题 热点突破 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题主要是对平行 垂直关系的探究 对条件和结论不完备的开放性问题的探究 解决这类问题一般根据探索性问题的设问 假设其存在并探索出结论 然后在这个假设下进行推理论证 若得到合乎情理的结论就肯定假设 若得到矛盾就否定假设 热点四立体几何中的探索性问题 解 1 在 PAD中 PA PD O为AD中点 所以PO AD 又侧面PAD 底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面PAD 所以PO 平面ABCD 又在直角梯形ABCD中 连接OC 易得OC AD 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 所以以O为坐标原点 直线OC为x轴 直线OD为y轴 直线OP为z轴建立空间直角坐标系 则P 0 0 1 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 设平面PDC的一个法向量为u x y z 取z 1 得u 1 1 1 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 一审 二审 三审 假设存在 引入参数 并用 表示相关点及向量坐标 四审 解 并根据 是否存在下结论 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 设平面CAQ的一个法向量为m x y z 则 取z 1 得m 1 1 1 热点突破 热点四立体几何中的探索性问题 又平面CAD的一个法向量为n 0 0 1 热点突破 对于探索性问题用向量法比较容易入手 一般先假设存在 设出空间点的坐标 转化为代数方程是否有解的问题 若有解且满足题意则存在 若有解但不满足题意或无解则不存在 热点四立体几何中的探索性问题 热点突破 1 证明在正方形AA1C1C中 A1A AC 又平面ABC 平面AA1C1C 且平面ABC 平面AA1C1C AC AA1 平面ABC 2 解由 1 知AA1 AC AA1 AB 由题意知 在 ABC中 AC 4 AB 3 BC 5 BC2 AC2 AB2 AB AC 以A为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系A xyz 热点四立体几何中的探索性问题 热点突破 A1 0 0 4 B 0 3 0 C1 4 0 4 B1 0 3 4 热点四立体几何中的探索性问题 设平面A1BC1的法向量n1 x1 y1 z1 平面B1BC1的法向量n2 x2 y2 z2 取向量n1 0 4 3 热点突破 取向量n2 3 4 0 热点四立体几何中的探索性问题 由题图可判断二面角A1 BC1 B1为锐角 热点突破 3 解假设存在点D x y z 是线段BC1上一点 热点四立体几何中的探索性问题 x y 3 z 4 3 4 解得x 4 y 3 3 z 4 又AD A1B 热点突破 热点突破 热点五利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 利用空间向量证明空间中的线面关系 计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法 它以代数运算代替复杂的想象 给解决立体几何带来了鲜活的方法 此类问题多以解答题为主 难度中档偏上 主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力 运算能力要求较高 热点五利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 解 1 如图 连接BD交AC于点O 因为BC CD 且AC平分 BCD 故AC BD 2分 建立空间直角坐标系O xyz 而AC 4 所以AO AC OC 3 O 热点突破 因为PA 底面ABCD 可设P 0 3 z z 0 AF PB O 热点突破 热点五利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 设平面FAD的法向量为n1 x1 y1 z1 平面FAB的法向量为n2 x2 y2 z2 O 热点突破 热点五利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 从而法向量n1 n2的夹角的余弦值为 O 热点突破 热点五利用空间向量解决立体几何中的位置关系与空间角问题 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 用向量法解立体几何问题的一般步骤 建系 必要时先证明再建系 确定相关点的坐标 求直线方向向量或平面法向量的坐标 判定向量位置