江苏省梁丰高级中学2014届高三数学期末复习考试（20131222）.doc

高三数学周日测试（20131222） 姓名 1.已知全集,集合,则= . 2.已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为 3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是 . 4.已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率为 .5.按如图所示的流程图运算,则输出的 . 6.已知向量, 若,则实数= .7若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围是 8.已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 .9.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若,则； 若，则；若则；若则.其中,所有真命题的序号是 .10.已知函数,满足,则函数的图象在处的切线方程为 .11.在中,则的面积为 .12.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .13.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则 . 14.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是 .15已知角、是的内角，分别是其对边长，向量，. (1)求角的大小； (2)若,求的长.16如图，在四面体中,是的中点(1)求证:平面；(2)设为的重心,是线段上一点,且.求证: 平面.17如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上. (1) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；(2) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?18.已知椭圆:()，长轴长是短轴长的倍，点P是椭圆C上一动点，其到点距离的最大值为3.(1)求椭圆的方程；（2）已知点N（5,0），设不垂直于x轴的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，若x轴是的角平分线，证明直线过定点.19已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有. (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和; (2)若. 求数列与的通项公式;试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由20 已知函数,其中.(1) 当时,求函数在处的切线方程;(2) 若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;(3) 已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.附加题 姓名 1.已知曲线,现将曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程2.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值3如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形, ，且平面平面.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论4.某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下休假次数人数根据上表信息解答以下问题：()从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；()从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望. 高三数学周日测试（20131222） 姓名 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分1.已知全集,集合,则= . 2.已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为 . 3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是 .240 4.已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率为 . 5.按如图所示的流程图运算,则输出的 . 606.已知向量, 若,则实数= .-27若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围是 8.已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 . 9.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若,则；若，则；若则；若则.其中,所有真命题的序号是 . 10.已知函数,满足,则函数的图象在处的切线方程为 . 11.在中,则的面积为 . 或12.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 . 13.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则 . 14.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是 . 或二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)已知角、是的内角，分别是其对边长，向量，. (1)求角的大小； (2)若,求的长.16(本小题满分14分)如图，在四面体中,是的中点(1)求证:平面；(2)设为的重心,是线段上一点,且.求证:平面.16证明:(1)由 3分同理，,又,平面,平面7分(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为的重心,所以,又,所以 11分又,所以平面17(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上. (3) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；(4) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?18.已知椭圆:()，长轴长是短轴长的倍，点P是椭圆C上一动点，其到点距离的最大值为3.(1)求椭圆的方程；（2）已知点N（5,0），设不垂直于x轴的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，若x轴是的角平分线，证明直线过定点.解：（1）由题意知，设为椭圆上一动点，则 (). 3分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去. 5分当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是. 7分（2）点N（5,0） ，设，直线，联立 ,得,所以 9分因为x轴是的角平分线,则=0所以 13分故直线,恒过. 15分19(本小题满分16分)已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有. (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和; (2)若. 求数列与的通项公式;试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由19.解: (1)因为,所以当时, ,两式相减,得,而当时,适合上式,从而3分又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以4分从而数列的前项和6分(2)设,则,所以,设的公比为,则对任意的恒成立 8分即对任意的恒成立,又,故,且10分从而11分假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项的和,即,从而,易知 (*)13分又,所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在16分20(本小题满分16分) 已知函数,其中.(4) 当时,求函数在处的切线方程;(5) 若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;(6) 已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.20解:(1)当时,则,故2分又切点为,故所求切线方程为,即4分(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,由,得,因为,所以7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是9分 (3), 由题意知对恒成立,即对恒成立,即 对恒成立 11分 当时,式显然成立; 当时,式可化为 , 令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 13分 即,其等价于 , 因为在时有解,所以,解得,从而的最大值为16分附加题 姓名 1.已知曲线,现将曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程B解：（1）由旋转坐标公式5分得变换公式为，代入得曲线的方程为10分2.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值解：，圆心，半径，圆心，半径3分圆心距， 5分两圆外切时，； 7分两圆内切时，综上，或10分3如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形, ，且平面平面.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论解：（1）因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 又因为 面面, 所以平面 所以两两互相垂直， 2分如图建立空间直角坐标系 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 6分（2）线段上不存在点，使平面平面证明如下： 假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 要使平面平面，只需， 即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 10分4.某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下休假次数人数根据上表信息解答以下问题：()从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零