高中数学第二讲四弦切角的性质达标训练新人教A版选修.docx

四 弦切角的性质更上一层楼基础巩固1如图2-4-8，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，PCB=25，则ADC为( )A.105 B.115 C.120 D.125图2-4-8思路解析:连结AC，构造出夹圆周角ADC所对弧的弦切角，即PCA，而PCA显然等于PCB加上一个直角，由此即得结果.答案:B2如图2-4-9，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为( )图2-4-9A.2 B.3 C. D.4思路解析:连结BC，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有ADC与ACB相似，所以可得，代入数值得关于AC的方程.答案:C3如图2-4-10，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线.图2-4-10求证：(1)如果ABCD，那么AM=MB；(2)如果AM=BM，那么ABCD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用，如第（1）题，由平行得B=DMB，由弦切角得DMB=A，于是有A=B.证明:(1)CD切O于M点，DMB=A，CMA=B.ABCD，CMA=A.A=B.AM=MB.(2)AM=BM，A=B.CD切O于M点，DMB=A，CMA=B.CMA=A.ABCD.4如图2-4-11，四边形ABED内接于O，ABDE，AC切O于A，交ED延长线于C.求证：ADAE=DCBE.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形ACD和ABE中，所以只要证明ACDABE即可.证明:四边形ABED内接于圆，ADC=ABE.AC是O的切线，CAD=AED.ABDE，BAE=AED.CAD=BAE.ACDABE.ADAE=DCBE.综合应用5如图2-4-12，P为O的直径CB延长线上的一点，A为O上一点，若=，AE交BC于D，且C=PAD.图2-4-12(1)求证：PA为O的切线；(2)若BEA=30，BD=1，求AP及PB长.思路分析:对于（1），A已经是圆上一点，所以可以连结OA，证明PA与OA垂直；对于（2），将E利用圆周角定理转移到RtODA和RtOAP中，解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.（1）证明:连结AO，=，BC为直径，AEBC，AD=DE，=.OA=OC，C=3.1=2C.又C=PAD，1=2.14=90，24=90.PAOA.PA为O的切线.（2）解:在RtEBD中，BEA=30，BD=1,BE=2，DE=.在RtODA和RtEBD中,4=90-1=90-2C=90-2E=30=E，ODA=BDE，AD=ED，RtODARtEBD.AD=DE=，OD=BD=1，OA=BE=2.在RtOAP中，ADOP，AD2=ODDP，即()2=1DP.DP=3.BP=2.在RtADP中，根据勾股定理，得AP=.6如图2-4-13，已知C点在O直径BE的延长线上，CA切O于A点，ACB的平分线CD交AE于F点，交AB于D点.图2-4-13(1)求ADF的度数.(2)若ACB的度数为y度，B的度数为x度，那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB=AC，求ACBC.思路分析:（1）中由AC为O切线可得B=EAC，由CD平分ACB可得ACD=DCB，根据三角形外角定理，得到ADF=AFD，建立等腰三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用ACEABC可得.解:（1）AC为O切线，B=EAC.CD平分ACB，ACD=DCB.BDCB=EACACD，即ADF=AFD.BE为O直径，DAE=90.ADF=(180-DAE)=45.（2）B=EAC，BBACACB=180,x90xy=180.y=90-2x.0BADC，0x45.y与x的函数关系式是y=90-2x，其中x的取值范围是0x45.（3