东北大学谢里阳教授机械可靠性工程课件

机械可靠性工程 主讲 谢里阳教授助课 钱文学博士 用概率的观点看问题 不确定性在系统层面上看问题 整体性概率论是数学科学中应用最广泛的一个分支 概率乃生命之真实向导 Cicero 106 43BC应用概率论时常能得到有趣 惊人的发现 这些发现通常会对普通和熟悉的现象有新的解释 概率论使我们以新的方式看待和思考世界 序 2 如何保证设计产品使用安全 安全系数的作用与可靠性概念 预测并消除潜在的失效隐患 防止将来产品现出不正常故障和失效 是一个关键的设计策略 如果载荷和材料性能完全已知 在所有危险点处的应力都不超过材料的强度 就可以确定零件的形状和尺寸 不确定性在设计中普遍存在 为了预防失效 设计者有两种方法 选用一个设计安全系数 保证材料的最小强度大于最大应力 用统计学方法描述不确定性 使失效概率低于预先给定的水平 3 选择安全系数的原则 选取安全系数需要对所使用的计算模型 材料的性能 使用条件等的限制与假设有很好的了解 一个有效的方法是将选择过程分解为一系列半定量的决策过程 分别权衡 最终得出可接受的设计安全系数值 4 安全系数8因素 为了选择设计安全系数 需要考虑以下 个因素 载荷 力 变形 或其它失效因素的精度应力或其它载荷强度参数的精度材料强度等指标的精度节省材料 重量 空间 或成本的需要失效所造成的人身与财产损失的严重性制造质量运行条件检测与维护维修的质量 5 可靠性概念 概率观点 S klnW 物理概念第一次用几率形式表达出来 意义深远 可靠性设计是设计领域的一次飞跃 6 可靠性概念 可靠性概念 定义 数据设计原则 P S R应用概率设计方法 需要知道危险点的应力分布和强度分布 常用分布 正态 对数正态 威布尔分布 7 设计安全系数与可靠性评价实例 8 概述 KPBV150减速器二级行星轮运行两年多之后发生疲劳断裂 裂纹是在行星轮内孔近表面处产生 在随后的工作载荷作用下疲劳裂纹扩展 并导致最终断裂 从断口瞬断区的相对面积判断 行星齿轮的最终断裂是在正常工作载荷下发生的 评价强度与寿命设计的合理性 9 齿轮失效的可能原因 FMECA 材料中含有夹杂或其它制造缺陷 在正常工作载荷作用下导致裂纹形核 扩展 设计安全裕度不足 在过载时产生疲劳裂纹 装配误差过大 运行载荷冲击等原因引起齿轮内孔与轴承外圈产生相对运动 导致内孔表面擦伤 微动磨损 冷焊等失效形式 最终产生表面微裂纹 10 基本思路 首先 分析该减速器的寿命设计准则 有限寿命设计 还是无限寿命设计 该减速器的输入端转速990rpm 2700kW 行星轮的输出转速19 241rpm 行星轮每年载荷循环次数大约为 19 124 60 8760 10051574 107对于钢铁材料 与107次载荷作用次数 寿命 对应的疲劳强度即为疲劳极限 根据该行星齿轮减速器的使用年限 20年 要求 可以知道 在设备的主要零部件的强度与疲劳寿命方面 该设备属于无限寿命设计 11 主要零部件应力与变形有限元分析 根据减速器结构及实际破坏情况 应用有限元方法 分析行星轮的应力分布 确定应力最大的部位及最大应力值 作为强度与寿命评价的依据之一 12 疲劳极限试验测定 13 安全系数评价 应力计算结果 行星齿轮齿根处当量应力307MPa 内孔表面135MPa 材料疲劳性能试验结果 疲劳极限 432MPa 不考虑动载系数的条件下 行星齿轮的设计安全系数为 432 1 307 2 1218 307 1 61 14 按一般情况 假设载荷和材料强度的变异系数皆为0 05 则行星齿轮 共28X6 168个齿 的可靠度约为0 9 15 第1章可靠性工程概述1 1产品的可靠性与安全性工程中处处都有可靠性与安全性问题 美国 挑战者 号和 哥伦比亚 号航天飞机失事 都足以说明因产品的可靠性差会引起严重安全问题 而核电站 高速列车的安全运行 都要以可靠性技术为基础 在现代生产中 可靠性与安全性技术已贯穿于产品研制 设计 制造 试验 使用 运输 保管及维修保养等各个环节 什么是可靠性呢 16 产品 零部件 系统 的可靠性 产品在规定的条件下 规定的时间内 完成规定功能的能力 规定的时间 是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征 产品的可靠性水平会随着使用或贮存时间的增加而降低 因此以数学形式表示的可靠性特征量是时间的函数 这里的时间概念不限于一般的时间概念 也可以是产品操作次数 载荷作用次数 运行距离等 规定功能 是要明确具体产品的功能是什么 以及怎样才算是完成规定功能 产品丧失规定功能称为失效 对可修复产品通常称为故障 机械产品一般是可维修的 要使一台设备发挥更好的作用 不仅要求在单位时间内出现的故障次数少 故障间隔时间长 而且要求维修时间短 将产品的能工作时间与总时间之比称为产品的有效性 或可用性 表征可修产品维持其功能的能力 17 可靠性是许多工程领域共同关心的问题不同领域的可靠性问题有各自不同的特点 人的可靠性问题与设备可靠性问题不同 软件系统的可靠性问题与硬件系统的可靠性问题不同 机械系统的可靠性问题与电子系统的可靠性问题也有明显的不同 18 随着系统的复杂化 特性显得更加重要 1 工程系统日益庞大和复杂 2 应用环境更加复杂和恶劣 3 系统要求的持续无故障任务时间加长 4 人身安全直接相关 5 市场竞争的影响 19 可靠性问题 20 可靠性问题的范围与内容 21 可靠性由可靠性数学 可靠性物理和可靠性工程三部分内容构成 可靠性数学 解决可靠性问题的数学模型和数学方法 属于应用数学的范畴 主要内容有概率论与数理统计 随机过程 运筹学等 可靠性物理 失效现象 机理与检测方法等 可靠性工程 产品失效及其发生的概率统计 分析 产品可靠性设计 可靠性预测 可靠性试验 可靠性评估 可靠性检验 可靠性控制 可靠性维修及失效分析等 立足于系统工程方法 运用概率论与数理统计等数学工具 研究产品故障 找出薄弱环节 确定提高产品可靠性的途径 并综合地权衡经济 功能等方面的得失 使产品的可靠性达到预期指标 22 可靠性问题的范围与内容 23 可靠性问题的范围与内容 24 25 26 27 可靠性基础 28 可靠性工程 零部件 结构和系统 可靠性数据收集与分析 可靠性设计 预测 试验 管理 控制和评价 29 1 可靠性管理 制定可靠性计划和其它可靠性文件 对生产过程的可靠性进行监督 计划评审 建立失效报告 分析和改进系统 收集可靠性数据和进行可靠性培训等 2 可靠性设计 建立可靠性模型 进行可靠性分配 选择和控制部件指标 确定可靠性关键部件等 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷 强度等有关设计量及其影响因素作为随机变量对待 应用可靠性数学理论与方法 使所设计的产品满足预期的可靠性要求 产品开发设计阶段的主要内容还包括预测设计对象的可靠度 找出并消除薄弱环节 不同设计方案之间的可靠性指标比较等 3 可靠性试验 环境应力筛选试验 可靠性增长试验 可靠性鉴定试验 可靠性验收试验等 4 可靠性评价 对零件及系统的失效模式 影响及危害性分析 故障树分析 概率风险评价等 30 可靠性 寿命周期费用 传统观点 现代观点 可靠性工作的各项活动可能是成本很高的 右上图是在可靠性活动方面所付出的成本的理论 费用 效益 关系的一般表述 尽管它看起来很直观并在有关质量和可靠性的教科书和教学中频繁出现 但此图是一种误导 经验表明 更为实际的状况如右下图所示 随着可靠性的提高 总费用会继续下降 用在有效可靠性工作上的所有费用都是一种投资 通常都会在短期内就有较大的回报 31 传统的质量模型 六西格马质量 成本模型 32 可靠性工程 课程内容 33 1 2可靠性工程发展历史 德国学者最先提出了可靠性问题 可靠性学科是第二次世界大战后从电子产品领域发展起来的 在机械工程领域 A M Freudenthal于1947年提出了著名的应力 强度干涉模型 至今为止 应力 强度干涉模型仍是机械可靠性设计中使用的最基本的模型 干涉分析的基本思想是 在可靠性设计中 将应力和强度均作为随机变量 这两个随机变量一般有 干涉 区存在 分别用h s 和f S 表示它们的概率密度函数 借助于应力 强度干涉分析 可以得出如下形式的零件的可靠度R的计算公式 1 1 这里 应力和强度都是广义的概念 可以认为 应力 是施加于零件上的任何种类的可能导致失效的物理量 如应力 温度 腐蚀 辐射等 而 强度 是零件能够抵抗相应 应力 的能力 34 1957年 美国电子设备可靠性咨询委员会发表了题为 军用电子设备的可靠性 的电子产品可靠性理论和方法的奠基性文献 标志着可靠性工程已经发展成为一门独立的工程学科 由此 也决定了传统可靠性理论与方法的基本特点 主要涉及的是具有恒定失效率的二态元件及具有元件独立失效特征的二态系统 根据传统的观点 假设 系统的可靠度可以由零件的可靠度确定 35 例如 根据系统的功能结构 传统的串联系统的可靠度模型为 1 2 传统的并联系统的可靠度模型为 1 3 式中 Rs为系统可靠度 Ri为零件可靠度 n为系统包含的零件数 显然 以上系统可靠性模型都隐含着这样一个假定条件 系统中各零件的失效是相互独立的 36 从六十年代开始 应力 强度干涉模型被应用于疲劳强度的可靠性设计中 七十年代 D Kececioglu和E B Haugen等人提出了一整套基于干涉模型的疲劳强度可靠性设计方法 并在工程上得到了应用 材料在循环载荷的长期作用下 强度逐渐衰减 因此 疲劳载荷 疲劳强度干涉模型本质上应该是一个动态概率模型 但当寿命给定时 疲劳强度分布是一定的 这样 就将动态概率模型转变成了静态概率模型 但存在的困难是 给定寿命下的疲劳强度分布难以确定 37 Weibullconjecture 38 1 3产品可靠性指标 1 可靠度可靠度是产品在规定条件下和规定时间内 完成规定功能的概率 记为R t 可靠度是时间的函数 故R t 也称为可靠度函数 若产品寿命t的概率密度函数为f t 可靠度函数可用公式表示如下 t 0 1 4 显然 可靠度是时间的单调减函数 随着时间t的增加 可靠度函数R t 单调下降 且有0 R t 1 与之对应 产品失效概率F t 定义为 1 5 显然 R t F t 39 可靠度 失效概率的统计意义可表述如下 设有n个同一型号的产品 概率意义上相当于属于同一母体 工作到时刻t时有n t 个失效 则 1 6 1 7 将失效函数F t 对时间t微分 即得到失效密度函数f t 也叫故障密度函数 1 8 f t 的统计意义可表达为 1 9 40 2 失效率 失效率也称故障率 t 工作到时刻t时尚未失效的产品 在时刻t以后的单位时间内发生失效的概率 也称为故障率函数或风险函数 根据定义 失效率是在时刻t尚未失效的产品在随后的单位时间内发生失效的条件概率 即 1 10 41 失效率的观测值 在时刻t以后的单位时间内发生失效的产品数与工作到该时刻尚未失效的产品数之比 1 11 在失效率为常数 的简单情况下 有 失效数 总运行时间 1 11 42 图失效率及其在有效寿命期间的均值例如 100个产品工作到80小时时尚有50个仍未失效 在80 82小时内又失效4个 则 nf t 4 ns t 50 t 2 故平均失效率是指在某一规定时期内失效率的平均值 如图1 所示 在 t1 t2 内失效率的平均值为 1 12 43 平均失效率的观测值 对于不可修复的产品是指在一个规定的时期内失效数与累积工作时间之比 对于可修复的产品是指某个观测期间一个或多个产品的故障发生次数与累积工作时间之比 1 13 式中 r 在规定时间内的失效数 t 累积工作时间 失效率的单位为单位时间的失效数 即1 h 1 km 1 次等 一般用单位时间的百分数表示 例如 103h 可记为10 5 h 10 9 h 例如 失效率 0 0025 103h 0 25 l0 5 h 表示10万个产品中 每小时只有0 25个产品失效 44 例1 1 有10个零件在指定运行条件下进行了600小时的试验 零件失效情况如下 零件1于75小时时失效 零件2于125小时时失效 零件3于130小时时失效 零件4于325小时时失效 零件5于525小时时失效 因此 在试验中有5个零件发生了失效 总运行时间为4180小时 每小时的失效率为 5 4180 0 001196 45 例1 2 假设某系统的运行周期为169小时 如图所示 在此期间 发生了6次故障 工作时间为142小时 每小时的失效率为 6 142 0 04225图系统的运行新情况图示 46 失效率 t 与可靠度R t 失效概率密度函数f t 等有以下关系 1 14 推导过程 47 失效率关系推导 48 失效率 t 与可靠度R t 失效概率密度函数f t 等有以下关系 由于所以有 t dt dR t R t 即 1 15 若 t 为常数 则有 1 16 49 图概率密度函数 可靠度与失效率关系图 50 典型的失效率曲线如图 传统上根据曲线的形状将其称为 浴盆曲线 浴盆曲线可以明显地划分为三个范围 早期失效范围 偶然失效范围以及耗损失效范围 图典型失效率曲线 51 1 淘汰期 在产品投人使用的初期 产品的故障率较高 但表现出迅速下降的特征 2 偶然故障 主要是由操作或维护不当等随机因素引起引起的 一般难以事先预料 3 耗损期 产品的故障主要是由老化 疲劳 磨损 腐蚀等耗损性因素引起的 采取定时维修 更换等预防性维修措施 可以降低产品的故障率 以减少由于产品故障所带来的损失 52 并非所有产品的故障率曲线都可以分出明显的三个阶段 系统的失效率曲线 电子元件的失效率曲线 机械零件的失效率曲线 软件的失效率曲线各有不同的特征 高质量等级的电子元器件其故障率曲线在其寿命期内基本是一条平稳的直线 而质量低劣的产品可能存在大量的早期故障或很快进人耗损故障阶段 与之相关的一个问题是 指数分布这个在传统可靠性分析中广泛应用的寿命分布形式的适用范围实际上是很有限的 只适用于失效率为常数的情形 几种不同产品的失效率曲线的形式如下图所示 图1 几种形式的失效率曲线 53 3 平均寿命在产品的寿命指标中 最常用的是平均寿命 对于不可修复的产品 平均寿命是指产品从开始使用到失效这段有效工作时间的平均值 记为MTTF MeanTimeToFailure 对于可修复的产品 平均寿命指的是平均无故障工作时间 记为MTBF MeanTimeBetweenFailures MTTF图MTTF图示图MTBF图示 54 平均寿命通常用寿命均值表示 其经验算术平均值由失效时间t1 t2 tn按下式求出 1 17 算术均值对与其偏离较大的 离散值 很敏感 也就是说 一个极短的或极长的失效时间会大大地影响均值的大小 另一个表示平均寿命的参数是中位数tmed 中位数是当失效数正好为总失效数一半时的失效时间 也就是说 中位数将概率密度函数曲线f t 与横坐标轴围成的面积分成相等的两部分 因此 中位数tmed可以简单地通过失效概率F t 与时间的关系求出 F tmed 0 5 1 18 中位数与均值相比最大的优点在于 它对偏离较大的 离散值 很不敏感 一个很小的或很大的失效时间都不会使中位数移动 55 图概率密度分布及均值 中位数和众数众数tmod 最常出现的数值称为众数 因此 众数tmod可以从密度函数f t 中简单求出 tmod是当密度函数最大时的失效时间 在概率论中 众数具有重要的意义 假如进行一个试验 就可以预料 大多数零件在寿命等于众数时失效 均值 中位数和众数在一般的非对称分布时各不相同 只有当密度函数曲线完全对称时 正态分布就属于这种情形 这些参数值才相等 56 平均寿命 与其它参数的关系 1 19 由于 即 1 20 当产品失效率 t 为常数 时 有 1 21 57 4 寿命方差与标准差 平均寿命是一批产品中各个产品的寿命的平均值 它只能反映这批产品寿命分布的中心位置 而不能反映各产品寿命与此中心位置的偏离程度 寿命方差和标准差是用来反映产品寿命离散程度的特征值 寿命方差为 1 22 寿命标准差为 1 23 58 图可靠寿命和中位寿命可靠寿命是指可靠度为给定值 时的工作寿命 用tR表示 中位寿命是指可靠度 50 时的工作寿命 用t0 5表示 特征寿命是指可靠度 e 1时的工作寿命 用表示 如图1 所示 一般可靠度随着工作时间t的增大而下降 对给定的不同R 则有不同的t R 即tR R 1 R 1 24 式中 R 1 R的反函数 即由R t R反求t 可靠寿命的观测值是能完成规定功能的产品的比例恰好等于给定可靠度时所对应的时间 5 可靠寿命 中位寿命与特征寿命 59 例1 3某产品的失效率为常数 即 可靠度函数 试求可靠度R 99 时的相应寿命 产品的中位寿命和特征寿命 解 由有两边取对数得可靠度寿命中位寿命特征寿命 60 6 维修度 产品的维修性可用其维修度来衡量 维修度的定义是 对可维修的产品在发生故障或失效后在规定的条件下和规定的时间 0 内完成修复的概率 记为M 与维修度相关的特征量还有平均修理时间和修复率 平均修理时间MTTR MeanTimeToRepair 是指可修复的产品的平均修理时间 修复率 是指 维修时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率 61 7 有效度 可用度 有效度或称可用度 是指 可维修的产品在规定的条件下使用时 在某时刻t具有或维持其功能的概率 有效度是综合可靠度与维修度的广义可靠性尺度 有效度A为工作时间对工作时间 MTBF 与维修时间 MTTR 之和的比 当寿命和维修时间均为指数分布时可表达为式中 为失效率 为修复率 62 第一章结束 谢谢 63 Faulttreeanalysis 64 Eventtreeanalysis 65 2可靠性数学基础 关于概率论与数理统计 随机过程概率论是一个较新的数学分支 但现在是其中应用最广的一个分支 概率论早期发展中 许多问题的解答只涉及简单算术 然而 这些 简单 问题却挑战了当时最有才华的学者 费马 帕斯卡 因为求解这样的问题所依据的思想是崭新的 具有挑战性的 概率论渗透到了我们的文化中 概率论促使我们以新的方式思考和行动 66 常识v s真相 意大利数学家卡尔达诺 卡丹J Cardan 认为 如果投一枚骰子三次 那么一个指定的数至少出现一次的可能性是50 事实上 该概率为1 5 6 3 42 67 2可靠性数学基础 2 1随机事件及其概率客观现象可分为确定性现象和非确定性现象两大类 确定性现象的共同特点是 准确重复某些条件时 结果总是确定的 或者根据它过去的状态 在一定条件下完全可以预言将来的发展情况 例如 非确定性现象具有不可预言性 在相同条件下对其做重复试验 每次结果未必相同 或者知道它过去的状态 却不能准确预知未来的情况 例如 随机现象在个别试验中结果呈现不确定性 在大量重复试验中结果具有规律性 我们称大量同类随机现象所呈现的固有规律为随机现象的统计规律性 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的数学学科 可靠性的基本概念和基本方法是基于概率论和数理统计建立起来的 68 2 1随机事件及其概率 2 1 1随机现象在产品的开发 设计 制造和使用中出现的现象 状态和试验结果等都可称为事件 事件按可能性大小 分为三类 1 必然事件 在一定条件下 必然会发生的事件 2 不可能事件 在一定条件下 肯定不会发生的事件 3 随机事件 可能发生也可能不发生的件 随机事件特点 一次观测中具有偶然性 不确定性 重复试验具有统计规律 69 2 1 2随机试验与随机事件对社会现象和自然现象进行观察和各种实验统称为试验 具有以下特征的试验称之为随机试验 可以在相同条件下重复进行 试验的全部可能结果在试验前就能确知 一次试验之前 不能准确预知可能结果中的哪一个结果会出现 例如 抛一枚硬币一次 观察出现正反面情况 这是随机试验 记为E 试验E可以在相同条件下重复进行 试验E的可能结果在试验前就可明确有两个 正面向上和正面向下 重复抛掷同一枚硬币 试验前不知会出现正面向上还是正面向下 不能准确预知哪一个结果会出现 70 任意抽取100只同一型号的晶体管 记录其中的不合格品个数 试验可在相同条件下重复进行 是随机试验 记为E 在100只晶体管中的不合格品个数可能是0 或1 或2 或100 但完成测试前 不能肯定究竟有多少个不合格品 在一批器件中任抽一只 测试它的寿命 不能预知其具体数值 随机试验中可能发生的结果为随机事件 简称事件 常用大写字母A B C 等表示 随机现象的一个基本结果就是一个事件 这种事件称为简单事件 随机现象的若干个基本结果也可组成一个事件 称为复杂事件 测试器件的寿命 用T表示其寿命 单位为小时 t t O 为任意实数 下面列举的都是复杂事件 Cl 寿命不超过一千小时 t l000 C2 寿命不低于三千小时 t 3000 C3 寿命在二千到五千小时之间 2000 t 5000 71 从上述例子可以看出 随机现象的任一个事件都可以看成是由若干个基本结果组成的 在随机事件中还有两种特殊事件 必然事件 每次试验肯定会发生的称为必然事件 一般用 表示 不可能事件 试验中肯定不会发生的事件称为不可能事件 用 表示 72 2 1 3事件之间的关系与事件的运算1事件的包含与相等设有事件A与B 若A发生则B必发生 则称事件B包含事件A或A包含于B 记为 或 2 1 A与B相等 记为 A B 2 2 73 2事件的和与积若n个事件A1 A2 An中至少有一个事件发生则事件C就发生 事件C称为事件A1 A2 An的和 记为 2 3 若事件D表示 事件A1 A2 An同时发生这一事件 则称D为事件A1 A2 An的积 记为 2 4 74 3事件的差和事件的互逆如果事件E表示 事件A发生而事件B不发生 这一事件 则称E为事件A与事件B的差 记为 2 5 若事件B为非A事件 则称A是B的对立事件或互逆事件 记为 或 2 6 75 4事件的互不相容 互斥 若事件A与事件B不能同时发生 称A与B互不相容 记为 2 7 76 2 1 4概率 概率论研究随机现象的统计特性 应用领域包括电话呼叫 质量控制 系统故障 机遇游戏 统计力学等 在许多领域中 当观测次数增加时 某些量的平均会趋于一个常数 即使平均是对实验前特定的任何子序列进行 其值仍保持不变 例如 在投掷硬币的实验里 正面出现的比例接近0 5或其他某个常数 如果每投掷四次取第四次计数 仍然会得到相同的平均值 在概率论中 用事件的概率来描述和预测这些平均量 概率是表示事件发生可能性大小的数量指标 通常用频率近似表示 或者说 事件A的概率是赋予这一事件的一个数P A 可以解释如下 77 2 1 4概率 如果实验重复进行了n次 事件A发生nA次 则当n足够大时 A发生的相对频率nA n以高度的确定性接近P A P A nA n 2 8 显然 从大量试验中所得到的随机事件A的频率稳定值P A 即为事件A的概率的统计表达 78 2 1 5概率的基本运算法则 1概率的互补定理某一事件发生和不发生的概率之和必然是1 即 2 11 79 2概率的加法定理若A B两事件互不相容 则A与B的和事件的概率为 2 12 对于n个互不相容事件A1 A2 An 则他们的和事件的概率为 2 13 若A与B相容 则A与B的和事件的概率为 2 14 对于n个相容事件A1 A2 An 则他们的和事件的概率为 2 15 80 3概率的乘法定理相互独立的两个事件A和B 同时发生的概率为 2 16 相关的两个事件A和B同时发生的概率为 2 17 81 4 条件概率在事件A发生的条件下 事件B发生的概率 称为事件B发生的条件概率 记为 P B A 2 18 82 5全概率公式如果事件组A1 A2 An满足 1 i j 且P Ai 0 i 1 2 n 即互不相容 2 即全部事件为必然事件 则称该事件组为完备事件组 全概率公式为 对任一事件B 有 2 19 83 6贝叶斯公式 若A1 A2 An为一完备事件组 B为任一事件 且P B 0 则有 2 20 贝叶斯 神的仁爱 试证神和政府的最终目标是让他的子民幸福 流数术导论 数学家反驳来自分析学家作者的批判 84 2 2 1随机变量 定义 变量的取值与随机试验的结果相关 特点 1 试验之前知道可能取值的范围 但未知精确值 2 取值有一定的概率 分类 按取值情况分两类 离散型随机变量 全部取值为有限个或可数无限个 连续型随机变量 在某区间内任意取值 85 1 离散型随机变量的概率分布概率分布表 随机变量Xx1x2x3xi 概率Pp1p2p3pi 其中0 pi 1 且数学表达式pi P X xi i 1 2 2 21 86 2 连续型随机变量的概率分布f x 概率密度函数 简称分布密度累积分布函数 简称分布函数有如下关系 87 2 2 2随机变量分布的数字特征 1集中趋势 1 均值 分布的平均值 是各取值以其概率为加权系数的加权算术平均值 离散型 E x 随机变量x的数学期望连续型 2 中位数 F x 0 5时所对应的x值 记为x0 5 3 众数 频率f x 为最大时随机变量x的值 88 2 分散性 1 方差 描述分散程度 是随机变量与均值差的均方值 离散型 连续型 2 标准差 方差的算术平方根 3 变异系数 标准差与均值之比 4 极差 观测值中最大值与最小值之差 即 89 2 3数理统计的基本概念 2 3 1母体 总体 与样本 子样 前面讨论过可靠性中的一些基本概念 寿命分布以及各种可靠性指标 在实际中 如何来确定一种产品的寿命分布 若知道寿命分布类型 分布中所含的未知参数如何估计 一种产品的可靠性指标又如何估计 这些问题都是可靠性中经常遇到的问题 大多可以用数理统计中参数估计和假设检验加以解决 90 2 3数理统计的基本概念 2 3 1母体 总体 与样本 子样 要确定产品的失效寿命分布 估计分布中的未知参数和各种可靠性指标 需要做大量的试验或观察 但在实际中允许我们做的试验或观察总是有限的 应用概率论方法 对局部与整体之间的内在联系进行分析和推理 能够得到令人满意的结果 数理统计学以概率论为理论基础 根据试验或观察得到的有限数据 对研究对象的统计规律性做出种种合理的推断 91 在数理统计中 母体是与研究的问题有关的对象的全体 组成母体的每个基本元素称为样本 例如 为研究某工厂所生产的一批晶体管的质量 我们就以该批晶体管为母体 其中每一个晶体管就是样本 在实际中 我们关心的是产品的某个数量指标 每个个体都是自己的指标值 假如我们的研究仅限于此 那么指标值就可以看作是样本 所有指标值就组成一个母体 根据不同指标值的出现的可能性的大小可以构成一个概率分布 这个分布是这个母体的统计规律性 这样一来 我们就把母体与一个随机变量等同起来 这个随机变量的取值就是母体中一切可能的指标值 这个随机变量的取值的统计规律性就是母体的分布 92 例如 为了研究某厂所生产的一批晶体管的不合格品率 我们关心的是晶体管是否是不合格品 假如我们规定 合格的晶体管对应 0 不合格的晶体管对应 1 那么母体就是由一些 0 与 1 组成的 假如把母体中 1 所占的比例记为p 那么这个母体就可看作一个服从二点分布的随机变量 它的不合格概率为p 为了研究某厂所生产的一批晶体管的可靠性指标 我们关心的是晶体管的寿命 每一个寿命值就是一个个体 这种寿命值的全体组成了母体 根据不同的寿命值出现的可能性大小可以构成一个寿命分布 可能是指数分布 也可能是威布尔分布 也可能是其他分布 因此这个母体就可以看做服从某一个寿命分布的随机变量 93 从母体中抽取一个个体 就是做一个试验 或者做一次观察 这个抽出的个体称为样本 在数理统计中 要用样本来对母体的各种特征进行推断 因而从母体中抽取的每一个样本都要有代表性 只有这样 经过多次抽样才能较全面地了解母体 从而做出正确的判断 在数理统计的理论讨论中 在样本抽出后 还未观察前 它可能取这个值 也可能取另一个值 故可以把样本看作一个随机变量 常用大写字母X表示 当观察到结果时 就是一个实数 常用小写字母x表示 称为样本X的观察值 因此 样本的代表性在数理统计中指的就是样本及与母体X有相同的分布 在数理统计学中 称与母体分布相同且相互独立的样本是从母体中抽出的简单随机样本 通常 把一个子样Xl X2 Xn 看作相互独立 且与母体有相同分布的n个随机变量 94 2 3 2统计量与样本的数字特征 完全由样本决定的量叫做统计量 统计量可以看作是对样本的一种加工 它把样本中所包含的关于母体的某一方面的信息体现了出来 若样本容量为n 其观测值为x1 x2 xn 则 样本均值 2 22 样本方差 2 23 样本标准差 2 24 样本变异系数 2 25 95 第3章可靠性中常用的概率分布 可靠性设计的数学基础是概率论与数理统计 载荷 强度等设计变量为随机变量 系统与零件之间的关系要在概率框架下考虑 随机变量样本数据统计处理 分布拟合 参数估计 概率计算 置信度确定 等等 96 3 1分布特征 随机变量分为离散型和连续型两类 离散型随机变量的取值xi是可数的 连续型随机变量x在其定义域内取任意值 概率密度函数必须满足 对于所有x的值 对于连续型分布 对离散型的分布 积累分布函数是随机变量X小于某个具体值的概率 P X x 连续型随机变量的积累分布函数定义为 3 1 97 概率论中有多种分布函数 不同的分布函数是在不同背景下提出来的 适用于不同的场合 对于可靠性问题 涉及的都是小概率问题 因此 更关心分布函数在其定义域中对应于小概率密度部分的细节特征 总体上相近 或低阶数字特征 例如均值和标准差 相同的两种分布 在小概率问题中可能表现出很大的差别 98 例如 对于图 下左 中所示的两种分布形式 一种为Weibull分布 另一种为正态分布 虽然它们的概率密度函数曲线差别很小 但其累积分布函数 反映可靠性特征 在小概率区域的差别却十分显著 如图 下右 所示 99 3 2二项分布 试验E只有两种可能的结果A和 P A p P q 用X表示在n重独立试验中事件A发生的次数 则X是一个随机变量 它的可能取值为0 1 2 k n 在这种情形X服从的概率分布称为二项分布 记为 X B n p 其概率分布为 3 2 二项分布的数字特征 E X np D X np 1 p 二项分布用途很广泛 产品的质量检验 描述表决系统的可靠性 100 3 3泊松 Poisson 分布 泊松分布 3 3 泊松分布的数字特征为 E X D X 101 泊松过程 泊松随机过程作为一种重要的计数过程 可以很好地用于描述 顾客流 粒子流 信号流 等事件的概率特性 102 设为一计数过程 且满足以下条件 1 N 0 0 2 是一个独立增量过程 即任取时 N t1 相互独立 3 对于充分小的 有 103 满足上述条件的计数过程是参数为的非时齐泊松随机过程 且有 当时 有 104 当为常数时 满足上述条件的计数过程为时齐泊松随机过程 泊松随机过程的概率密度分布 105 3 4指数分布 指数分布的定义指数分布的密度函数为 3 4 式中 为常数 是指数分布的失效率 指数分布的累积分布函数F x 1 e x 3 5 若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布 则该产品的寿命服从指数分布 106 3 5正态分布 正态分布密度函数定义为 3 6 其中 均值 标准差 107 标准正态分布 0 2 1的正态分布称为标准正态分布 其概率密度函数为 3 7 通过以下公式 可以实现从一般正态分布向标准正态分布的转换 可靠度函数失效率函数 108 截尾正态分布 工程实际中有很多试验或观察数据近似服从正态分布 但正态分布的取值范围 到 不很符合实际情况 考虑到许多试验或观察数据无负值 因此用截尾正态分布来表示较为准确 截尾正态分布定义为 若X是一个非负的随机变量 且密度函数为则称X服从截尾正态分布 式中 为 正规化常数 以保证 109 3 6对数正态分布 若X是一个随机变量 Y ln X 服从正态分布 Y ln X N 2 则称X服从对数正态分布 对数正态概率密度函数是 f x 3 9 和 不是对数正态分布的均值和标准差 而分别称为它的对数均值和对数标准差 110 对数正态分布的均值是 3 10 对数正态分布的方差是 3 11 可靠度函数失效率函数 111 3 8威布尔 Weibull 分布 Weibull采用 链式 模型研究 描述了结构强度和寿命问题 假设一个结构是由n个小元件串联而成 将结构看成是由n个环构成的一条链子 其强度 或寿命 取决于最薄弱环的强度 或寿命 单个链的强度 或寿命 为一随机变量 设各环强度 或寿命 相互独立 分布相同 则求链强度 或寿命 的概率分布就变成求极小值分布问题 由此得出了威布尔分布函数 由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的 能充分反映材料缺陷等因素对材料疲劳寿命的影响 所以作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型比较合适 112 三参数威布尔分布的密度函数为 3 13 威布尔分布的均值 3 14 威布尔分布的方差 3 15 113 如果 1 威布尔分布的均值小于 且随着x的减小接近于 随着增长到无穷 威布尔分布的方差减小 且无限接近于0 风险函数 失效率函数 114 115 第4章可靠性设计原理与可靠度计算 4 1可靠性设计与安全系数设计从可靠性的角度 可将产品归纳为3类 本质上可靠的零件 强度与应力之间有很大的裕度 且在使用寿命期内不耗损的零件 本质上不可靠的零件 设计裕度低或者不断耗损的零件 由很多零件和界面组成的系统 汽车 飞机 工程机械等 存在很多失效的可能性 特别是界面失效 116 4 1可靠性设计vs传统设计 在常规的机械产品设计中 使用安全系数 强度均值与应力均值之比 来考虑这种不确定性的影响 这是一个经验的安全系数 尽管综合了计算误差 材料分散性 应用场合的重要性等因素 取值仍有相当大的主观性 为了保证安全 安全系数往往取值较大 设计多偏于保守 可靠性设计根据应力和强度的不确定性 应用概率论方法 保证所设计的产品在使用期内满足规定的可靠性要求 117 可靠性设计与传统设计的差别表现 设计变量的属性及其运算方法不同 可靠性设计中涉及的变量大多是随机变量 涉及大量的概率统计运算 安全指标不同 可靠性设计用可靠度作安全指标 可靠性指标不仅与相关参量的均值有关 还与其分散性有关 安全理念不同 可靠性设计是在概率的框架下考虑问题 在概率的意义上 系统中各零件 或结构上的各部位 的强弱是相对的 系统的可靠度是由所有零件共同决定的 而在确定性框架下 系统的强度 安全系数 是由强度最小的零件 串联系统 或强度最大的零件 并联系统 决定的 提高安全程度的措施不同 可靠性设计可以通过减少材料 结构性能的分散性来降低发生失效的概率 而传统设计一般都是要通过增大承力面积来降低工作应力 保证安全系数 对于结构系统来说 可靠性设计多采用冗余结构保证系统安全 118 传统安全系数的局限性 只有当零件的强度和工作应力的不确定性非常小时 这样定义的安全系数才有意义 安全系数没有反映零部件的结构特征对失效概率的影响 119 零部件结构形式对可靠性的影响 120 4 2应力 强度干涉基本模型 1 基本概念零件是否失效决定于强度和应力的关系 当零件的强度大于应力时 能够正常工作 当零件的强度小于应力时 则发生失效 零件在规定的条件下和规定的时间内能够承载 必须满足以下条件或 4 1 式中 S 零件的强度 s 零件承受的应力 121 应力和强度都是随机变量 把应力和强度的分布在同一座标系中表示 横坐标表示应力 强度 纵坐标表示应力 强度的概率密度 函数h s 和f S 分别表示应力和强度的概率密度函数 图中阴影部分表示的应力和强度的 干涉区 也就是说 存在强度小于应力 即失效的概率 这种根据应力和强度的干涉关系 计算强度大于应力的概率 可靠度 或强度小于应力的概率 失效概率 的模型 称为应力 强度干涉模型 根据可靠度的定义 可靠度等于强度大于应力的概率 4 2 122 2可靠度的一般表达式 根据干涉分析计算强度大于应力的概率 可靠度的原理如下 首先对连续的应力空间进行一个划分 并将连续的应力离散化 用各小区间的中值代替各区间内的应力变量 显然 各离散应力出现的概率为psi h si dsi 4 3 考虑一个指定的离散应力 当应力为si的条件下不失效的概率 即强度大于应力的概率为 4 4 123 应用全概率公式 强度大于应力的概率 可靠度 为 4 5 令ds 0 4 6 124 当应力和强度的概率分布为已知时 零件可靠度一般表达式写为 4 6 或 4 6 可靠性干涉模型还可写成以下两种形式 4 6 4 6 式中 分别为应力和强度的累积概率密度函数 125 根据应力 强度干涉模型 如果已知应力分布和强度分布 就可以计算出零件的可靠度 当应力s N s s2 与强度S N S S2 均为正态分布时 可以进行以下变换y S s y y2 4 7 式中 y S s y2 S2 s2 这时 可靠度可表达为 4 8 126 令 4 9 z为标准正态分布随机变量 有 4 10 这时可靠度 可通过查阅标准正态分布表获得 即 4 11 令 4 12 式 4 12 称为可靠性联结方程 或称耦合方程 z0 称为可靠性系数或可靠度指数 127 在应力 强度干涉图中 干涉面积并不等于失效概率 这二者之间的关系很容易用函数关系表达 见图 图中 h s 为应力概率密度函数 f S 为强度概率密度函数 p s 实线下的面积在数值上等于失效概率 该面积一般小于干涉区面积 128 3理解干涉理论与干涉模型 三种图示的应力 强度干涉关系 基本应力 强度干涉图 准动态 应力 强度干涉图 完整过程 干涉关系图 129 可靠性分析原理图 130 思考题 若要计算在风载作用下某风力发动机30年的可靠度 如何得出载荷分布 131 假设30年载荷数据列于下表中 132 载荷统计 133 4可靠性设计中的载荷概念 载荷分布是可靠性设计的重要参数之一 在某种意义上也可以说是最重要的参数 载荷分布对于产品可靠度的意义 可以是一次性作用的载荷以不同值出现的概率 也可以是多次作用的载荷的统计规律 也就是说 对于一次性使用的产品 例如一次性使用的导弹发射架 一次性消防器材保险装置等 载荷分布表达的是这个一次性出现的载荷的概率特征 对于长期使用的产品 例如汽车 桥梁等 载荷分布一般应该是载荷历程的统计规律 对于随机载荷 强度条件下的可靠性问题 有安全裕度SM和载荷粗糙度LR两个参数 4 13 4 14 只有同时使用这两个参数 才能比较全面地描述载荷及其对可靠性的影响 134 4 3载荷多次作用的干涉模型 容易知道 基本干涉模型表述的是一次性载荷的情形 若要将该式应用于长期工作的产品 则相应的应力分布应该是其寿命周期内的极值应力的概率分布 获得这样的载荷分布的方法是 在多个样本的全寿命周期载荷历程中 取各载荷历程的极限载荷进行统计 得出极限载荷分布 这样做可以求出一个失效概率 但无法表达可靠性的时间属性 对于施加n次载荷的情形 如果使用的载荷分布是根据一个样本的载荷历程统计得出的 则相应的可靠性计算模型如下 4 15 这时 可靠度就变成了安全裕度与载荷粗糙度的函数 也就是说 在载荷多次作用的场合 可靠度不仅仅是安全裕度的函数 同时也是载荷粗糙度的函数 载荷粗糙度这个参数对系统可靠性也有重要意义 135 4 4应力 强度干涉模型的统计平均解释 4 4 1 随机变量函数的均值由概率论可知 随机变量x的数学期望 均值 定义为积分式中 f x 为x的概率密度函数 如果用条件概率密度函数f x M 代替概率密度函数f x 则可得到在条件M下 随机变量的条件均值 136 对于随机变量x的函数g x 有如下的均值计算公式或式中 fy y 为随机变量y的概率密度函数 137 4 4 2 可靠度的统计平均意义零件可靠度可以看作是应力的函数 在应力为确定性量 强度为随机变量S f S 的条件下 零件的可靠度和失效概率分别为在应力与强度均为随机变量的情况下 我们定义零件的条件失效概率 以应力为条件 如下 4 16 138 相应地 计算零件失效概率的载荷 强度干涉模型可以写成 4 17 或可靠度公式 4 18 在概率的数学意义上 上式可以解释为函数 s 在随机变量s的定义域 0 上的统计平均值 其中随机变量s的概率密度函数为h s 139 有了对干涉模型的统计平均解释 也就有了将传统的载荷 强度干涉模型进行拓展的数学基础 根据传统的载荷 强度干涉模型的物理意义 它只能用于计算两个可以直接比较的物理量 例如载荷与强度 载荷循环数与疲劳寿命等 的 干涉 概率 而根据对干涉模型的统计平均解释 则可以借助这种形式的方程计算任何连续可积函数 s 对于以h s 为概率密度函数的随机变量s在其定义域上的概率平均值 显然 这里并不需要限定必须是两个能直接比较的随机变量 而只要有适当的函数形式即可 140 4 5应力和强度的分布特性 4 5 1应力和强度随机性的影响因素在机械产品中 应力 是引起失效的负荷 而 强度 则是抵抗失效的能力 应力和强度都是随机变量 要确定应力和强度的特性 首先要了解影响应力和强度随机性的因素 一般情况下 影响应力的主要因素有外载荷 结构形状和尺寸等 影响强度的主要因素有材料的机械性能 加工工艺 表面质量 使用环境等 141 设计参数的统计处理与计算 零件在载荷作用下产生应力 载荷通常是随机变化的 因此零件危险点的应力是随机变量 零件的强度取决于材料 加工制造等诸多因素 即使同一批零件的强度也有明显的分散性 也是随机变量 在机械可靠性设计中 影响应力分布和强度分布的物理参数 几何参数等大都作为随机变量对待 静载荷一般可用正态分布描述 动载荷一般可用正态分布或对数正态分布描述 通常 材料的强度可以用正态分布描述 几何尺寸一般服从正态分布 且可根据3 法则确定其分布参数 142 4 5 2统计数据的来源和处理 设计参数的来源有以下几种途径 1 实测或观察2 模拟真实情况的测试3 标准试件的专门试验4 利用手册或其他文献中的数据一般在手册中查得的数据如无说明可视为均值 如已给出数据的公差或范围 可按 3 原则处理 143 4 6随机变量函数的均值和标准差计算方法 求应力分布参数的矩方法 泰勒级数展开法 用矩法求随机变量X的函数f X 的均值及标准差 是通过泰勒展开式来实现的 对n维函数 当相互独立 且各随机变量的变异系数都很小时可用此方法 144 一维随机变量 设y f X 为一维随机变量 的函数 X的均值为 将f X 在 处展开 4 19 对上式取数学期望即E y f f var X 4 20 对式 4 1 取方差 有即 4 21 145 多维随机变量 设y f X F X1 X2 Xn 为相互独立的随机变量 X1 X2 Xn 的函数 在均值处展开 4 22 4 23 146 确定应力分布的例子 一受拉圆柱截面直杆 已知杆所受拉力载荷 拉杆的截面半径 试确定其应力分布的均值和标准差 表示随机变量的均值 表示随机变量的标准差 147 确定应力分布的例子 一受拉圆柱截面直杆 已知杆所受拉力载荷 拉杆的截面半径 试确定其应力分布的均值和标准