七年级数学上：3.3等式与方程课件北京课改版.ppt

3 3等式与方程 教学目标 1 说出等式的意义 并能举出例子 会区别等式与代数式 能说出等式的两条性质 会利用它们将简单的等式变形 2 弄懂方程 方程的解 解方程的含义 并会检验一个数是否是某个一元方程的解 3 培养观察 分析 概括的能力 4 初步渗透特殊 一般 特殊的辩证唯物主义思想 一 提出问题 指出下列式子中哪些是等式 哪些是代数式 a b c a b c a b c 3 5 2 2x x l 2x x 1 0 2 x 1 2x 2 解 是等式 是代数式 说明 等式和代数式既有区别 又有联系 首先等号是关系符号 而代数式中只有运算符号 所以代数式不是等式 但等式的左边和右边都是代数式 注意 等式与代数式不能混同 代数式不含有等号 等式的左右两边才是代数式 或其它式子 代数式没有等号 所以公式和等式都不是代数式 公式和等式有等号 它们的两边是两个代数式 公式是等式 但等式不一定是公式 如3 5 2就是等式 而非公式 二 知识梳理 1 什么叫等式 等式有多少种类型 课本通过我们熟悉的式子 1 2 3 a b b a s a b4 x 7 告诉我们 像这种用等号 来表示相等关系的式子 叫做等式 等式又可以分为以下三种类型 1 恒等式 如1 2 3 a b b a 在字母允许的取值范围内 不论等式中的字母取任何数值 等式两边的值都相同的等式 我们把它叫做恒等式 一般的用字母表示的运算法则 公式均属于这一类 如乘法分配律m a b ma mb 去括号法则a b c a b c等等 2 条件等式 它只是在等式中的字母取某些数值时才成立的等式 如4 x 7 只有当x 3时 等式左 右两边的值才相等 这种等式我们把它叫做条件等式 3 矛盾等式 它是指无论等式中的字母取任何数值 等式的左 右两边的值都不相等 如a2 4 1 我们把它叫做矛盾等式 等式所表示的不同意义 牵涉到以下问题 1 为什么不定义 用符号连结两个代数式所得到的式子叫做等式 呢 因为这是一个形式定义 它没有反映出等式的实质 例如 x 1是 绝对大于 x的 但如果承认 x 1 x 是等式或 矛盾等式 逻辑上是不合理的 再说 等式a b的两边可以不是代数式 比方可以是超越式 矩阵 命题等 另外 两个代数式 中的 两个 也不妥 这样就会排除像 a b c 这样的连等式 而事实上 所谓等式的 左端 右端 正是在连等式中才有意义 例如上面连等式中 左端为a 右端为c 2 为什么不把恒等式与等式分开定义呢 这是因为恒等式不一定与字母有关 例如 实际是一个恒等式 我们也不要求同学弄清这里该用 号还是 号 其次 如果一个恒等式中含有字母 那么恒等概念依靠的是函数概念 显然 对初一学生先讲函数是不合理的 所以 在不少场合下 把 与 两种符号合并为 号 有一定的好处 例1 某数的比该数的大7 列出等式 2 等式的性质 等式有以下两条性质 性质1 等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得的结果仍是等式 性质1 若a b 则a m b m 性质2 等式两边都乘以 或除以 同一个数 除数不为零 所得的结果仍是等式 性质2若a b 则am bm 例2 如何从等式得到x 30 例3 运用等式的性质 求出下列等式中字母x的值 1 5x 7 8 2 等式性质1和性质2在运用上的异同点 相同点 等式两边都是施以同一种运算 等式两边都加上 或减去 都乘以 或除以 同一个数 不同点 性质1等式两边可以都加同一整式 而性质2不能实施 在等式两边只能乘 除同一个数 而且此数不能等于零 性质1不受零的限制 等式除了课本介绍的两个性质外还有其它性质吗 还有其他性质 我们在初中阶段解方程或其它等式变形中 常用的是课本上的这两个性质 同学们必须很好地理解和掌握 但实际上 我们在后边的学习中还会用到以下两条性质 若a b 则b a 这是等式的对称性 若a b b c 则a c 这是等式的传递性 至于其它一些等式的性质 在不同的学习阶段 同学们还要逐步学习 3 等式与方程有的关系 方程是含有未知数的等式 这就很明确的说明了等式与方程的关系 首先 方程一定是等式 第二 方程中必须含有未知数 这两个条件缺一不可 也就是说 等式不一定是方程 如1 2 3是等式 但它不是方程 由于方程是等式 所以方程的解也就会有三种可能 如果方程恰是恒等式 则方程的解可以是任意的有理数 如2x 3 x x 3 它的解是x为任意有理数 如果方程恰是矛盾等式 则方程无解 如2x2 1 0 我们说这个方程无解 如果方程是条件等式 则方程的解是某个确定的值 如4 x 7 x 3是这个方程的解 例4 下列各式中哪些是方程 是方程的指出未知数 l 2x 3 0 2 35 27 5 3 3 15x2 7x 2 4 3 x y 4 5 3x 1 0 6 7 8 y 1 1 y 分析 要判定一个式子是不是方程 主要从以下两点入手 一是先看看是不是等式 第二再看看等式中是否含有未知数 解 l 是方程 其中x是未知数 2 不是方程 3 不是方程 4 是方程 其中x y是未知数 5 不是方程 6 是方程 其中x是未知数 7 是方程 其中x是未知数 8 是方程 其中y是未知数 4 解方程 定义 使方程左 右两边的值相等的未知数的值 叫做方程的解 方程的解 和 解方程 中的 解 字有什么不同 方程的解 中的 解 字是名词 表示能使方程左右两边的值相等的未知数所取的数值 这样的值可能有一个或多个 也可能没有 所以方程可能有一解或多解也可能无解 而 解方程 中的 解 字是动词 表示寻求方程的解或判定方程无解的过程 根 与 解 有什么关系 使方程左右两边的值相等的未知数的数值 叫方程的解 只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根 同解方程和方程同解原理如果两个方程的解相同 那么这两个方程 就叫做同解方程 例如 方程2x 1 19的解是x 9方程2x 18的解也是x 9那么这两个方程就是同解方程 方程同解原理有两个 方程同解原理1 方程两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得的方程与原方程是同解方程 方程同解原理2 方程两边都乘以 或除以 同一个不等于0的数 所得方程与原方程是同解方程 例5 根据方程同解原理 说明下列两个方程是同解方程 1 3x 5 x 11 2 解 方程 1 两边都减去x 即2x 5 11 同解原理1 方程两边都减去11 得 2x 16 0 同解原理1 方程两边都除以16 即 同解原理2 从而得到了方程 2 所以方程 1 和 2 是同解方程 例6 检验下列各数是不是方程3y 5 10 2y的解 1 y 1 2 y 3分析 检验一个数是不是方程的解 只要把这个数分别代入方程的左 右两边 看看左右两边是否相等即可 解 1 把y 1分别代入方程的左边和右边 得 左边 3 1 5 8 右边 10 2 1 12 左边 右边 y 1不是方程3y 5 10 2y的解 2 把y 3分别代入方程的左边和右边 得 左边 3 3 5 4 右边 10 2 3 4 左边 右边 y 3是方程3y 5 10 2y的解 说明 1 左边 右边 是定义过的概念 不要简写成 左 右 也不要写成 左端 右端 2 注意检验格式 体现出验证推理的过程 有些同学喜欢这样写过程 以 2 小题为例 把y 3分别代入方程的左边和右边 得 3 3 5 10 2 34 4 y 3是方程3y 5 10 2y的解 上面的表达法实际上已经事先承认 左边等于右边 这样的验证过程是不能成立的 也是碰巧 若以 l 小题为例 就会出现矛盾的表达方式 把y l分别代入方程的左边和右边 得 3 1 5 10 2 1 8 12 8 12 显然是错误的 所以在学习过程中要格外留心这些地方 例7 已知 x 4是方程m x 1 4x m的解 求m的值 分析 方程 左 右两边的值相等 所以将x 4代入方程后即可得到关于m的方程 解方程即可求得m的值 例8 填空 1 若方程的解是 则m 2 若方程3a 2 3 x 4 4的解是 3 则3a3 2a2 1的值的是 例9 根据下列条件 列出方程 1 x的4倍加上3等于x的一半减去6 2 y的倍比它的相反数的还多 3 x的20 与x的差比x的少3 例10 试根据下列条件列出方程 1 某数减去13是它的 2 甲 乙两数的和为12 甲数是乙数的2倍少2 三 小结 1 方程 等式 代数式 这三者的定义是正确区分它们的唯一标准 表示相等关系的式子叫等式 等式的特征是式子中含有 号 而代数式不含 号 所以代数式不是等式 等式可用来表示两个代数式之间的相等关系 等式中 号两边的式子都是代数式 而代数式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子 当不论用任何数值代替等式中的字母 其左右两边的值总相等时 这样的等式叫恒等式 特别地 由数字计算组成的等式都是恒等式 由此可见 等式不一定是恒等式 但恒等式则一定是等式 2 方程的解是一个数值 或几个数值 它是使方程左 右两边的值相等的未知数的值它是根据未知数与已知数之间的相等关系确定的 而解方程是指确定方程的解的过程 是一个变形过程 四 课后练习 1 简答下列各题 l 怎样从等式3a