函数专题2：求解析式及经典题型.doc

求函数解析式常用的方法部分一：方法介绍1待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1：已知是二次函数，若且试求的表达式。解析：设 (a0)，由得c=0，由 得，整理得得 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= (k0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a0)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)例1 设是一次函数，且，求解：设 ，则 2换元法用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：已知求的解析式。解析：如果把视为，那左边就是一个关于的函数,只要在等式中，用表示,将右边化为的表达式，问题即可解决。令 小结：已知fg(x)是关于x的函数，即fg(x)=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入fg(x)=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。注意：换元后要确定新元t的取值范围。3配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：已知求的解析式。分析：可配凑成可用配凑法，解：由，令，则， 即，当然，上例也可直接使用换元法，令，则得，即 ，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例4：已知求.解析：由，令，由即得 即：实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。例2 已知 ，求 的解析式解：， 4消元法【此方法的实质是解函数方程组】条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。例5：设满足求的解析式。分析：要求可消去,为此，可根据题中的条件再找一个关于与的等式，通过解方程组达到消元的目的。解析：，显然，,将换成得由消去，得例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解 ，又 ，用替换得：，即 ，解 联立的方程组，得， 小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。5赋值法其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。例5：已知求。解析：令则令则小结：所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。6代入法【求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法】例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则，解得： ，点在上，把代入得：，整理得，7递推法 【场景：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。】例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 分别令式中的 得： ，将上述各式相加得：， 8函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6. 已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，所以9反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7. 已知函数，求它的反函数。解：因为，反函数为10“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数若，写出函数的解析式。解：11建模法例9. 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为。求的导数，得，当，那么为增函数；当，那么为减函数；因此，在定义域（0，24）内，函数只有当时取得最大值，其最大值为部分二：实际例题三【配凑法（整体代换法）】若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。【例题】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0解1：f(x-1)=-2(x-1)-3，f(x)=-2x-3f(x+1)=-2(x+1)-3=-4，-4=0，x=2解2：f(x-1)=-4x，f(x+1)=f（x+2)-1=-4(x+2)=-4，-4=0，x=2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，f(t+1)=-4(t+2)=-4题5若，且，求值.练习5设是定义在上的函数，且，求的解析式.六利用给定的特性求解析式.题6设是偶函数，当x0时， ，求当x0时，的表达式.练习6对xR， 满足，且当x1，0时， 求当x9，10时的表达式.七归纳递推法题7设，记，求.八相关点法题8已知函数，当点P(x，y)在y=的图象上运动时，点Q()在y=g(x)的图象上，求函数g(x).九构造函数法题9若表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，n时， ，求.训练例题（4）已知，求；（5）已知，求；解：（4），（或）（5） 令（），则， (8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。解：汽车在甲乙两地匀速行驶，S100t，汽车行驶速度为100公里小时，两地距离为1500公里，从甲地到乙地所用时间为t小时答：所求函数为：S100t t0，15(9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食.求出函数y关于x的解析式。解：设现在某乡镇人口为A，则1年后此乡镇的人口数为A(11.2)，2年后的此乡镇人口数为A（11.2）2经过x年后此乡镇人口数为A(11.2)x。再设现在某乡镇粮食产量为B，则1年后此乡镇的粮食产量为B(14),2年后的此乡镇粮食产量为B（14）2，经过x年后此乡镇粮食产量为B（14）x，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 kg，即360，所以x年后的人均一年占有粮食为y，即y（xN*)（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量水费（元）1239152291933根据上表中的数据，求、。解：设每月用水量为，支付费用为元，则有由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，从而 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入（2）式，得，即，这与（3）矛盾。从而可知一月份的付