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数学开放题解决过程中的几个心理学问题何龙泉（浙江省平阳县第一中学 浙江 平阳 325400）摘要：本文从同化和顺应、思维、以及行为这三个角度探讨了数学开放题解决过程中涉及的心理学问题，结果表明：数学开放题解决过程主要引起顺应，并与发散性思维和聚合性思维有关，解题过程中主体的行为主要表现为独立有意识行为。关键词：数学开放题；同化和顺应；发散性思维；聚合性思维；行为数学开放题解决过程中涉及哪些心理过程？这是一个有待深入研究的问题。香港大学的莫雅慈先生曾用马顿的理论论述数学开放题解决过程中的“变异”与“同时性”1。本文作者也曾从吉尔福特的智力结构模型的运演这一维度阐述了数学开放题在创造性能力培养中的作用2。这些研究无疑对深入探讨这一问题具有借鉴意义。一、同化与顺应早在1994年，戴再平先生就曾指出，“封闭题主要引起同化，而开放题主要引起顺应”3。正是这一论断促使笔者在这里对数学开放题解决过程中的同化与顺应作进一步的探讨。开放题引起顺应，并不否认开放题解决过程中的同化，而是在肯定同化和顺应的共同作用的基础上强调了主要引起顺应。和常规问题的解决一样，解数学开放题，首先当然要理解题意，而这一理解本质上是解题者把问题中涉及的概念、关系纳入主体已有的知识和经验（或说已有的认知框架内）。按照皮亚杰的观点，同化是指把给定的东西整合到一个早先就存在的结构中4。这就是说理解题意的过程实际上就是问题中涉及的知识、概念和关系的同化过程。显然，这个过程同时存在于解封闭题和开放题的过程中。从另一个角度来看，理解题意过程中的模式的识别，也即问题的归类，在问题的求解过程中（特别是对于问题的表征）有着十分重要的意义。D Hinsley曾以文字应用题作为材料作过实验，结果表明，学生确实具有关于解应用题的若干模式，如工程问题、水流问题等。事实上，模式的识别也正是国内中、小学在数学教学中进行题型归类训练的理论基础之一。在这里，我们无意讨论此教法的利弊，我们关注的是：模式的识别为何能引起国内外研究者的注意。模式的识别对于解题者之所以重要是因为它直接关系到如何调动已有的知识和经验来求解所面临的新问题。换一句话说，与题中给出的情景想联系的、解题者所回忆起的，往往是所认定的与模式直接相关的知识与经验。而这正体现了同化的深刻内涵，从这个意义上来说，解题（无论是开放题，还是非开放题）的第一步就与同化密切相关了。这个同化过程不但出现在理解题意的过程中，而且呈现于解决问题的旅途上。在很多情况下，解题过程中出现的同化比审题过程中出现得更频繁。在解题过程中，除了知识的同化外还涉及解题方法的同化。解题者从着手解题开始，就在思考着选择哪种方法解决问题，代入法在本题中用得着吗？配方法、换元法呢？待定系数法又如何？是一种方法就够了，还是要若干种方法一起用。总之，要把问题情景所要求的解法整合到主体知识结构中已有的方法中，才能找到正确的解决问题的方法。如果问题中的情景在主体的头脑中找不到与它相对应的图式，在这种情况下就会引起顺应。皮亚杰指出，顺应是指个体受到刺激或环境的作用而引起的促进原有图式的变化或创新，以适应外界环境的过程。一般的说，与封闭题的解决过程不同，数学开放题的解决有时没有现成的方法，需要解题者敢于探索、勇于创新。同时开放题的答案也不是唯一确定的，要求主体灵活运用所学知识，摆脱形式上的束缚，进入问题的深层，触及问题的本质，对问题作深刻、细致的剖析，从而使思维辐射到与问题有关的各个角落，使问题得到解决。这些探索、思考的思维过程，概括地说就是个体受到问题情景的刺激而引入的，目的是改变原有的知识框架（解题方法），创造新的方法，以解决问题的过程。这个过程本质是一个顺应的过程。在发生认识论原理一书中，皮亚杰指出同化不能使图式改变或创新，只有顺应才能起这种作用。事实正是如此。这也从另一个方面证实了求解数学开放题与培养创造性能力之间的密切关系。数学开放题解决过程是同化和顺应的共同作用的过程，同时顺应是主要的，而这正是数学开放题不同于封闭题之处，也正是这个不同最终导致了数学开放题在培养创造性能力中的特殊作用。二、发散性思维和聚合性思维发散性思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式5。这种思维沿着不同的方向去思考，对信息或条件加以重新组合，找出几种可能的答案、结论或假说。它是一种不依赖常规、寻找变异的思维。在思维方向上它具有逆向性、侧面性（横向性）和多向性。在思维内容上它具有变通性和开放性。发散性思维的这些特性，在数学开放题中得到了充分的表现。数学开放题是指那些正确答案不唯一，并在设问方式上要求解题者进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。这个界定揭示了在解数学开放题的过程中主体的思维特点：多方面、多角度、多层次地探索。这个界定和发散性思维的涵义具有很大的相似性。多方面地探索问题是指：就问题答案的同一层面的并列的几个方向进行探索。策略开放题的各种解法、有些结论开放题的并列的答案等，均指这样的“多方面”。换句话说，解题者从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局限于一种模式，或一个方面，就是多方面地探索。这表明数学开放题具有发散性思维的多向性特点。多角度地探索强调了解题过程中的多个不同的出发点，从不同的角度出发对开放题进行探索也是开放题的一个显著的特点。有些数学开放题涉及三角、数列、解析几何、平面几何，如：“例1 已知ABC的三边a、b、c成等差数列，由此可以得出哪些结论？”就是这样。这种开放题的求解，要求解题者从三角、数列、解析几何、平面几何等角度去思考、探索。从这个角度看：数学开放题具有发散性思维的侧向性和开放性特点。多层次地探索意味着在同一个角度，同一个方向进行不同深度、不同层次的探索。众所周知，同一个数学开放题，对于不同层次的解题者（如初中生、高中生、教师或专家等）所能得到的答案和答案的数量是不同的，这是由数学开放题答案的多层次性决定的，这就意味着解题时要求主体对问题进行多层次地探索。以上我们从数学开放题的概念出发探讨了它与发散性思维的密切关系，在下面的讨论中我们将看到，在数学开放题的解决过程中这种关系更加密切。数学开放题（特别是结论开放型问题）的解决过程，本质上是对一些特殊事物性质的研究过程。数学开放题所反映的事物的性质和我们数学课本中的事物的性质如：三角形的性质、平行四边形的性质、球的性质等相比只是特殊和一般的差别，难度上的差别。如上面的例1本质上就是要我们研究满足条件“三边成等差数列（即2b=a+c）” 的三角形所具有的性质。我们知道象三角形、平行四边形和球等这些基本概念的性质是数学的主要内容，历史上其探索过程充满了难以想象的困难，具有非凡的创造性，凝聚了人类的智慧结晶，如：球面积、球体积公式的推算6等就是如此。在这个意义上数学开放题答案的探索过程不可与之相提并论。但实际上这两者只是难度上的差别，本质是一致的。从这一角度看，数学开放题的解决过程是发散性思维的过程，是发挥创造性的过程。上面我们讨论了数学开放题解决过程中的发散性思维，下面我们探讨数学开放题解决过程中的聚合性思维。聚合性思维也叫集中思维，是把问题提供的种种信息或条件朝着一个方向集中，从而得出一个正确的答案或一个最优的解决问题的方案。聚合性思维的主要特点是问题本身必须至少存在一个正确答案。乍一看，聚合性思维与数学开放题似乎势不两立，因为聚合性思维要求的是得出一个正确的答案，而数学开放题正是要寻找多个正确的答案。但问题不是这样简单。聚合性思维过程主要依赖于逻辑推理和形式思维，通常较多地采用分析、综合、演绎、概括和系统化等方法。因此数学开放题解决过程中凡涉及以上方法的大都是聚合性思维的表现。这些思维形式和方法在解决数学开放题的过程中也屡见不鲜，如解题过程中先猜想出一些结论会成立，然后逐个进行证明（或举反例排除），这就使用了逻辑推理，又如：在数学开放题的解决过程中对答案的探索从具体到一般的规律（如“钟面问题”解决就是如此），就是一个归纳概括的过程。可见，数学开放题与聚合性思维并不抵触，在解决数学开放题的过程中聚合性思维也发挥了重要的作用。人的思维和行为密不可分，思维是行为的内在基础，行为是思维的外在表现。在探讨了解决数学开放题的过程中发散性思维和聚合性思维后，我们就来讨论数学开放题解决过程中主体的行为及其特点。三、解题主体的行为及其特点行为主义心理学的最新发展就是将多种认知过程（如思维、知觉、期望等）融入行为主义的框架中。黄全愈博士认为：人的行为具有两重性，即独立行为和角色行为，同时他还认为：人的行为又具有二元性，即有意识行为和无意识行为7，黄先生进一步指出有意识行为是指主动的有预谋的，经过深思熟虑的行为，而无意识行为是指下意识的，没有预谋的，本能的行为。两者的根本区别在于：前者具有明确的目的性，并有计划地去达成它，后者也可能带有潜在的目的，但它却没有计划和步骤，也没有预计到行动的结果。把人的行为的两重性作为横坐标，二元性作为纵坐标，再和思维相结合就得到下面的图。 有意识行为 （4自主行为区） （3确认行为区） 形象思维 逻辑思维 逻辑思维 聚合思维发散思维 逆向思维 形象思维（弱）聚合思维 独立行为 潜意识的逻辑思维 角色行为 形象思维（非常强） 聚合思维 （1直觉行为区） （2习惯行为区） 无意识行为这样一来，就把人的行为分为四种，即：直觉行为、习惯行为、确认行为和自主行为。每一个行为区域都有与之相对应的思维。直觉行为也就是“独立无意识行为”，指那些正常的，可以理解的几乎是“本能”的行为，这种行为仅仅和形象思维有关。在数学解题过程中，这种行为的表现并不直接与解题内容相关，如：思考时抓头挠耳、咬铅笔头等，近几年有很多学生在解题时用三个手指头旋转圆珠笔也属这种行为。习惯行为也叫“角色无意识行为”，这是一种内在的、无意识的、无预谋的角色行为。这种行为与潜意识的逻辑思维、聚合思维有关。在解题过程中表现为许多学生在发现自己的解法或答案与老师的不一致时，在“老师总是正确的”的观念支配下，不管自己的解法是否正确，连想都不想就放弃自己的，认同老师的结果。确认行为即“角色有意识行为”，这是一种基于自己的角色地位的社会确认行为，是经过深思熟虑的，有明确目的，并有计划去达到目标的角色行为。这种行为和逻辑思维，聚合思维以及形象思维（弱）想联系。在解题过程中表现为有些学生发现自己的解法或答案是正确的，但与老师的不一致，而老师又不认同他的方法，为了得到老师的喜欢，他放弃了自己的东西，有意识地采用老师的方法或答案。自主行为就是“独立有意识行为”，这是一种不被角色规范约束的独立的超然行为。这种行为和形象思维、逻辑思维、发散思维、逆向思维和聚合思维等相关。从这里可以看出，这个区域集中了最多的与创造性有关的思维活动。事实上，任何一个“自主行为”必须要借助于形象思维或逆向思维去打破常规阻力的障碍，产生新的想法，然后用发散思维寻找更多的结论或假设，最后用逻辑思维、聚合思维对得到的结论或假设进行证明或否定。因此“独立有意识行为”在很大程度上与创造性能力有关。在解题过程中，当问题或老师对解题主体的限制较少时，解题者的行动就具有较大的独立性，这时候主体的行为就是自主行为。在数学开放题的解决过程中，主体的行为主要是这种自主行为。这是由数学开放题的特点决定的。数学开放题有多种类型,有的问题是给定一定条件求在此条件下可以得到的结论，有的是给定结论，要确定哪些条件可以得到这个结论，有的是要求用不同方法解决同一个问题。无论是哪种类型都有一个共同特点，那就是寻找多个正确答案。这就要求解题者进行主动地、独立地思考和探索，其思维和行为不应受到问题本身和教师的影响，具有很大程度的独立性。另一方面，对数学开放题答案的探索毫无疑问是一种有意识的行为。这就是说数学开放题解决过程中主体的行为是独立有意识行为。如果在解题过程中主体的行为受到了教师的约束，而使解题者有意或无意地与教师的思维保持一致，那就失去了解数学开放题的意义，主体已不是在解开放题了，而是回到了常规题。当这种情况发生时，主体的行为中角色行为占主导地位，成为角色无意识行为或角色有意识行为了。从思维的角度看，正如在第二部分中论述的那样，解数学开放题主要涉及发散思维、逆向思维和聚合思维，而这些思维正出现在独立有意识行为中，特别是发散思维仅仅出现在这种行为中。在这个意义上也说明数学开放题解决过程中主体的行为主要是独立有意识行为。数学开放题解决过程中涉及哪些心理过程，这是一个深刻的理论问题，本文从同化和顺应，发散性思维和聚合性思维，解题主体的行为及其特点三个角度探讨了这一问题，目的是抛砖引玉，希望能引起对此问题的深入研究。参考文献1 戴再平.开放题数学教学的新模式M.上海:上海教育出版社,2002.91-92.2 何龙泉.开发数学开放题、培养创造性能力J.中学数学教学,2001，(3)：12-13.3 戴再平.一组数学开放题的试验与分析J.数学教育学报,1994，(2).4 J .皮亚杰.发生认识论原理M.北京:商务印书馆,1995.25.5任樟辉.数学思维理论M.南宁:广西教育出版社,2001.209-210.6梁宗巨.世界数学通史M.沈阳:辽宁教育出版社,1995.342-346.7黄全愈.素质教育在美国M.广州:广东教育出版社,1999.60-61.Some psychological problems in the process of mathematics open problem solvingHE Long-quan(Pingyang No1 Middle School Zhe jiang Pingyan 325400,china)Abstract: What psycholo