高中数学11导数及其应用全部课件苏教版选修一导数在研究函数中的应用2.ppt

导数在研究函数中的应用3 3 1单调性 2 1 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的增函数 2 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的减函数 一般地 设函数y f x 一 复习回顾 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的定义域 若定义域为r 则可省去 2 求出函数的导函数 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 注 单调区间不以 并集 出现 例1 确定函数f x sinx 的单调区间 四 数学运用 四 综合应用 变 确定下列函数的单调区间 1 f x x 2 sinx 解 1 函数的定义域是r 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 y x 的单调减区间是 1 0 和 0 1 练习1已知函数y x 试讨论出此函数的单调区间 解 y x 1 1 x 2 令 0 解得x 1或x 1 y x 的单调增区间是 1 和 1 令 0 解得 1 x 0或0 x 1 解 函数的定义域是 1 2 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 例2如图 水以常速注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像 a b c d 练习3 x y o a b c y f x 试画出导函数图像的大致形状 o a b c x y f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 0 上是减函数 例3证明函数f x 在 0 上是减函数 证法一 用以前学的方法证 任取两个数x1 x2 0 设x1 x2 f x1 f x2 x1 0 x2 0 x1x2 0 x1 x2 x2 x1 0 0 点评 比较一下两种方法 用求导证明是不是更简捷一些 如果是更复杂一些的函数 用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性 证法二 用导数方法证 f x 1 x 2 x 0 x2 0 0 f x 0 f x 在 0 上是减函数 练习4 求证 f x 2x sinx在r上为单调增函数 四 数学运用 证明 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 2 e2x 1 0 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 f 0 e0 1 0 0 当x 0时 f x f 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 例4 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 分析 假设令f x e2x 1 2x f 0 e0 1 0 0 如果能够证明f x 在 0 上是增函数 那么f x 0 则不等式就可以证明 点评 所以以后要证明不等式时 可以利用函数的单调性进行证明 把特殊点找出来使函数的值为0 练习6 证 练习1 确定函数的单调区间 解 令注意到故f x 的递增区间是 0 100 同理由得x 100 故f x 的递减区间是 100 说明 1 由于f x 在x 0处连续 所以递增区间可以扩大到 0 100 或 0 100 2 虽然在x 100处导数为零 但在写单调区间时 都可以把100包含在内 例2 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 巩固提高 1 证明 方程x sinx 0只有一个实根x 0 例6 2000年全国高考题 设函数 其中a 0 求a的取值范围 使函数f x 在区间 上是单调函数 即 1 函数f x x3 3x 1的减区间为 a 1 1 b 1 2 c 1 d 1 1 2 若函数y a x3 x 的递减区间为 则a的取值范围