高中数学3.4基本不等式新人教版A版必修533.4基本不等式1.ppt

3 4基本不等式1 一 新课引入 icm2002会标 赵爽 弦图 一 新课引入 证明推导1 结论 如果a b r 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 以公式 1 为基础 运用不等式的性质推导公式 2 这种由已知推出未知 或要求证的不等式 的证明方法通常叫做综合法 如果a b r 那么有 a b 0 1 把 1 式左边展开 得a 2ab b 0 a b 2ab 2 2 式中取等号成立的充要条件是什么 证明推导2 证明推导3 证明推导4 均值不等式的几何解释是 半径不小于半弦 均值不等式的代数解释为 两个正数的等差中项不小它们的等比中项 两个不等式的适用范围不同 结论推广 公式 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n叫做这n个正数的算术平均数 结论 n个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n 结论举例 1 如果a b r 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 推论如果a b 0 那么 a b 2 当且仅当a b时取 号 推论如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 abc 3 二 新课讲解 其中当且仅当a b时取等号 三 探索 由a b c r 依次对其中的两个运用公式 2 有 a b 2ab b c 2bc c a 2ca 把以上三式叠加 得a b c ab bc ca a b c r 3 当且仅当a b c时取 号 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法 迭代与叠加 证明 a b c ab bc ca a b c r 当且仅当a b c时取 号 由于a b a b a ab b 启示我们把公式a b 2ab变成a ab b ab 两边同乘以a b 为了得到同向不等式 这里要求a b 0 得到a b a b ab 4 结论如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 四 再探索 由公式 3 的推导方法 再增加一个正实数c 对b c c a迭代 4 式 并应用公式 2 得2 a b c a b c b c a c a b a 2bc b 2ca c 2ab 6abc a b c 3abc 5 当且仅当a b c时取 号 证明如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 五 继续探索 结论如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 在公式 5 中用 分别替换a b c 可得 3a b c 3 a b c 3 7 当且仅当a b c时取 号 证明如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 小结 3 如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 4 如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 5 n个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n 其中当且仅当a b时取等号 变式 3种情况 5个结论 推