车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟

第2 o 卷 第5 期 工 程 数 学 学 报 0 0 3 年 3月 J OURNAL OF ENGI NEERI NG MATHEMATI CS V0 1 2 0 No 5 Ma r 2 0 0 3 文 章 编 号 1 0 0 5 3 0 8 5 2 0 0 3 0 5 0 0 6 5 0 6 车灯 灯 丝长 度优化设 计的数学 模 型和数值模拟 谭 永 基 复旦大 学数 学 系 上 海 2 0 0 4 3 3 摘要 本文 对在 车灯反 射光 满足 一定 设计规 范 的前提下 优化 车灯 灯 丝长 度 的 问题 建 立 了基 于 光 线跟 踪 和基 于反 射 点 轨迹 分析 的两类 优化 模型 并对 模型 的 数值 模 拟 和数 值求 解 进 行 了讨 论 本文 还 对 出 现 的其 他 模 型 进行 了评 述 关键词 数学 模型 线光 源 数值模 拟 分类 号 A MS 2 0 0 0 4 9 K 3 5 7 8 A 5 5 中图分 类号 0 2 2 4 0 2 9 T M9 2 3 0 2 文献 标识码 A 1 问题 的 提 出 为保 证汽车夜 间行 驶的安全 要求 汽车的车灯能 照亮汽 车行驶 正前 方一定距 离 内的一 定宽度范 围 但 为了节省能源 这一宽度范 围不必太大 沿宽度 方 向有 一定 衰减 率 各类 车 灯 的工业设 计规范正是 据此 而制定 的 由于车灯 的照 明主要靠反 射光 又考虑到汽车通常的 速度 我们采用 的设计 规范 为 在 水平放置的车灯 的反射 面焦点 F点正前方 2 5米 处 A点 放置一个测试屏 与 垂直 在该 测试屏 上过 A点 引出一条 与地 面相 平行 的直线 在该 直 线 A点 的同侧取 B点 和 c点 使 A C 2 A B 2 6米 要求在测试屏 上 B点与 c点的反射光 强度分别超 过 2 H 和 日 其 中 日表示某一额定的光强度 我们考察 的汽车车灯 的形状 为一个水平放置 的旋转抛 物 面 其开 lZ l 半径 为 3 6毫米 深 度为 2 1 6毫米 焦 点离开 l Z l 平 面的距离为 6 6毫米 该车灯安装在 汽车 的头部 对称轴 指 向 水平正前方 经过 车灯 的焦点 F 在与对称轴相垂 直的水平方 向对称地放 置长度为毫米且均 匀分布 的线光源 记线光 源的总功率为 在测试 屏上 B与 c点 的反 射光强 度可 分别记 为 f 与 f 设计规范 可表示为 B f 2 H h c f 日 现在 问题就是 求出最优 的线光 源长度 满足此 规范并使 功率 最小 不难看 出 日可取为 1 在 求得最小的 后 再乘 以 日 即可 这样一来 问题就归结 为 i l j 日 量 i i i 净 交 j 毫 宣 葺 i j 争 一 日 鱼 1j氢 一 维普资讯 更多数学建模资料请关注微店店铺 数学建模学习交流 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 ml n 1 0 1 o 1 s t h 口 1 W 2 h c 1 W 1 2 反射 光 线 的方 向 建立 坐标 系如下 取车灯旋转抛物 反射 面的顶点为原 点 0 O A为 Z轴方 向 Y轴平行于 灯丝 的右手坐标 系如 图 1 所示 以毫米为单位 下同 由所 给信息不难求 出车灯反射面方程 为 焦 点 坐 标 为 0 0 1 5 位 于点 e o W 1 5 的点光 源发出的光 线经反射面上 一点 Q反射 出去 设反射 点的坐标 为 Q y 若记入射 向量为 该点反射面 外法 线方 向为 不难 得到反 射 向量 满 足 2 一 T 6 记 未 多 由 Y W F 2 6 0 1 5 b x 1 3 0 y 3 0 一1 从 而 得 占 c c c 的 表 达 式 2x y w 矗丽 c w 2 y 2 2 r UU r 4 1 8 0 0r 一 3 6 0 0wy 4 81 1 3 0 0 0 一 L l 奎 I 1 g t 光 线 3 反 射 面 上 面 元 受 点 光源 照射 的 能量 为研 究反射面上 一个面元反射一个点光 源发 射 的光强度 我们 首先考 察该 面元受 点光 源照射的光强度 由于光强度 正 比于功率 若考察 单位 时间 我们 可 以研究 单位 时间 内光 源 发射到该 面元 的能量 由几何 光学 知识 距离功率 为 1 个 单位的点光源 P为尺的点 Q附近一 面积微元 d S单位 时间受 该点光源照射 的能量为 它对点光源所在 位置所张 的立体 角 即 dS 其 中 卢为 P Q连线与面积微 元法线的夹角 于是 若旋转抛 物面反射点 的坐标为 Q Y 则具 有功 率 d N 的位 于点 的点光源单 位 时间照射 到 Q点附近 的旋转抛 物面上 的面元 d S能量为 d s 维普资讯 第 5期 车灯 灯丝 长度 优化 设计 的数学 模 型和数 值 模拟 6 7 其 中 P Q Y一 r 2 6 0 1 5 而 为 P Q连线 与旋转抛物 面在 Q点处法线 的夹角 所 以 r 2 4 5 0 一 yw c o s p 一 P Q T 9 0 0 其 中 r Y 4 光 线 跟踪 模 型 设线光源的长度 为 功率为 1 将光源分为每段长 的 等分 每段 光源可视作 一个功率 为 1 M 的 点 光 源 该 点 光 源 发 射 的 光 可 离 散 为许 多 条 光 线 这 些 光 线 中的 部 分 会 被 抛 物 面 反 射 出去 在测试屏 点 或 c点 附近取一个小领域 跟踪这 些光线 将 反射到此领域 中的光 线 所 具 有 的 能 量 叠 加 并 除 以 小 领 域 的 面 积 即 为 点 或C 点 处 的 光 强 度 h Z 或 h Z 反射 离散光线可用下述方法 产生 1 将反 射面进 行剖 分 例 如用 柱 面坐标 对径 向 环 向和高度 进行等分 将 反射面 分成很 多小面元 2 将 面元 中心 点与 光源 的连 线作 为该光 源 发 出的光线 这些 反射光线反射 到测试屏 的位置可 由第 2节 的方法 计算 而反射 的 的能量可 由第 3节所述 的方 法计算 采用 光线跟踪法如何保证 计算 精度是至关重要 的 具体检 验精 度 的方法是 同时将 光源 和 反 射 面 的 剖 分 加 密 一 倍 将 或 C 点 附 近 的小 领 域 的面 积 缩 小 一 半 得 到 的结 果 无 显 著 变化 时 方能认 为结果是可信 的 5 基 于 反射 点 轨 迹 分 析 的模 型 这一模 型的思路是将线光 源视作点光源的叠加 以 c点 的光强 度为例 若 位于 P O 1 5 的功率 为 d w l 的点光 源 经反射面上 Q点反射到 C 则 Q点 附近反射 面上微元 d s反射 的功 率 为 d s 而这束光 照射到测试屏 c点 附近 的面积为 则此点光源经反射点 Q对 c点 光强度 的贡献为 d w c o s d S d 于是 只要确定所有反 射点和相应 的点光 源位 置 将它 们对 c点 光强 度进 行叠 加或积 分 即 可 1 求出反射点 的坐标 及其 反射的能量仍 以 c点 为例 设 P O 1 5 处 的点光源发 出的 光线 经抛物反射面上 一点 Q Y 反射到 c点 注意到反射光 向量 通过 c点 应有 k c 一 k c y 2 6 0 0 一 Y k c 25 01 5 一 r 6 0 维普资讯 6 8 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 其中为 k常数 c c c 为反射 向量 由第 二节 给 出的公式决定 从上述第一式可解得 0 或 j 一 由此得反射点坐标满足以下两组方程 二 wy 0 Y 一 t 2 6 0 0 y 1 8 0 0 y 1 4 9 8 2 0 0 w一 4 6 8 0 0 0 0 Y 9 3 6 0 0 0 0 w 8 1 0 0 0 0 y 一 1 3 5 08 1 O0 0 0 一 21 0 6 0 0 0 00 0 0 r 3 7 50 J Y 西 5 2 0 0 一9 0 0一 2 通过计算 可知 存在 当时第一组 方程不存在满 足的实根 即无 反射点 而 当时 有两个 反射点 Q 0 Y y 1 6 0 i 1 2 而第 二组方程仅 当 一3 8 1 1 9 一1 5 6 0 9时存在满足 r 3 6 2的一对实根 即有两 个反射点 记为 Q Q 设位 于点 P O W 1 5 的单位能量点光源经点 Q附近的面元 d s反射 到 c点 将从该 面 反射 的光 简化为平行于反射 向量光束 该光束 照到测试屏 的面积 为 COS y 其 中 y 分别为 与反射 面在点 Q 的法线 的夹 角和反射 向量 Q C与 z的能 z 轴 的夹角 位于 P O 1 5 的功率为 d w l 的点光源经反射对 c点能量 密度 的贡献为 d w C O S I d S d w c o s t i 而 c 0 s y 2 5 0 2一 r 6 0 QC 2 h Z h Z 的表 达 式 由 1 中的分析 长 的具有单位能量 的线光源位于点 P O 1 5 的长 的微小线光源 段反射 到 c点 的能量 密度为 4 E w l 其 中 20 2 2 0 埘 一3 0 一 3 8 1 1 9 一1 5 6 0 9 1 i 3 4 硒 一 一 0 一3 8 1 1 9 一1 5 6 0 9 长 z的具 有单位 能量 的线光 源反射 到 C点 的能量密度 为 h c z l E d w 类似可得 h z 的表达 式 相应 的反射点方程 为 维普资讯 第 5期 车灯 灯丝 长度优 化设 计 的数学模 型 和数 值模 拟 6 9 0 一 1 3 0 0 y 1 8 0 0 y 1 4 9 8 2 0 0 w一 2 3 4 0 0 0 0 y 4 6 8 0 0 0 0 o 8 1 0 0 0 0 y L 1 3 5 08 1 0 0 0 0 一 1 0 53 0 0 0 0 0 0 0 r 3 7 5 0 J 西 T 相应 的而第 二组 方程 的有两个反射 点的范围为 一1 9 0 6 一0 7 8 0 0 0 0 5 3 的精确计算 将 P点发 出的光线经 抛物反射面 Q点附近的点 Y 反射 到测试 屏上点 Y 2 5 0 1 5 视作 变换 Y 一 Y 从 l C Y Y Cy 2 5 01 5 kC 的第三式解 出 k 代人第一 和第 二式 就可得变换表达式 进 而求 得其变换行列式 一 a e t I l 那 么 就有 d 2 I I d S 1 3 0 8 0 由此可得 的精 确表达式 其 中为反射面在 Q点 的法线与 轴的夹角 北京 和广 东都有参 队得 到 的精确表达式 这是很有创造性 的 但 是它仅 当变换是一 对一时才成 立 而对 车灯反射存在多值 的情形 此时 J 0 的表达 式为广 义积分 计算较 为 复杂 所 以他们在实 际计算时 并 未真正用它 6模 型 的 求解 建立 了的光 线跟踪模型 或反射 点轨迹 积分模 型后 对给定 的可 以 用数值模 拟或积分 的 方法求得 应 具备下列性质 1 0 0 z 2 I I h z 十 z Z 日 Z Z 0 其 中 为起亮 值 为最大值点 z 为考察 的最 大范 围 例如取为 2 0 mm h z 也有类 似的 性 质 但起亮值 和最 大值点均相应地增 大 数值求解 h z 2 z 记 其解为 z z 再求 出 不难 看 出 2 H h 口 f 2 H h 口 z 用到 z z 时 h 口 当 z l l t 4 i l t 鱼l 量 摹 壹 薯 萼 争 1 j i ii i 维普资讯 7 0 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 H h c z W 用到 z f 时 h 十 这就证 明了 W 的确是 最 小值 z 的数值结 果约 为 4 mm 例如用 第 5节 的反 射点轨 迹积分 模 型 用 2 中的方法 近似 最 优 灯 丝 长 度 为 3 8 9 mm 利用 反射 向量 的公 式 不难计算 出灯丝上任一点光 源经反 射 面上任 一点反 射到测试 屏 上点 的位 置 遍历 等丝上所有 的点光 源和反射 面上所有 的反射 点 并检验 光线是否被反射面 本身遮挡 就 可得到测试屏上反 射光的亮区 7其他 模 型 和 方 法 在各参 赛队 的论文 中出现了许多不 同的模型 和不 同的方法 这 充分 显示 出广大学 生极 其活跃的思维 和创造精 神 在 他们提出的各种模型和方法 中有一些是相 当完美 的 另外一些 虽有不同程度 的缺 陷 但不乏 独到之处 有 些参赛 队采用 光线跟踪模型 用计算 反射到 B c两点各 自领域 中的光线条数来决定 领域 中接受到 的反射光 的功率 考虑到均匀分布的光线 由于反 射点距离 和反射方 向的不 同 因而具有 不同 的反射功率 他们 巧妙地改变光 线的分 布 使 每条 光线 反射 的能量基 本相 同 大大地减少 了数值模 拟的误差 有些参赛 队采用逆 向思维 的方式 注意到反射光线 光程 的可逆性 他们在跟踪光线或分 析反射点轨迹 时 不是从光 源上的点发出光线 而是从测试屏上 的 B C点 出发 考虑问题 这 一 方 法 在某 些情况下可简化 问题 减少计算量 有 些参赛 队将光线 跟踪法和分析反射点轨迹 的方法结合起来 他们将 B c两点处的反 射光功率 之 比视作能从线 光源上任何点发射 的能反 射到这 两点 的光线 数 总和之 比 于是将 问题归结 为反射面上可 将光源反射到 点和 c点的反射点 的轨迹 的测度 之 比 此法 虽有忽 略反 射点不 同反射 的能量也不 同这一重要性质 的缺陷 但