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函数的单调性 x y o y x2 当自变量 x 增大时 函数值 y 如何变化 复习引入 x 0时 y随x的增大而减小x 0时 y随x的增大而增大 答 3 3 1函数的单调性 o x y y f x 在图象上任取两点a x1 y1 b x2 y2 x x2 x1 x的增量 y2 y1 y的增量 y f x2 f x1 y 0 思考 1 当自变量增大时 函数值也随着增大 x 0 y 0 a a a a a a b b b b b b 当自变量减小时 函数值也随着减小 x 0 y 0 2 当自变量增大时 函数值随着减小 x 0 y 0 y y o x y f x a b f x1 f x2 x1 x2 y y o x y f x f x1 f x2 x1 x2 a a a a a a b b b b b b 2 当自变量减小时 函数值随着增大 x 0 y 0 y y o x y f x b a f x2 f x1 x2 x1 结论 y 增函数 如果在给定的区间上自变量增大 减小 时 函数值随着增大 减小 即对于属于这个区间的任意两个不相等的值x1 x2 当 0时 那么就说 y f x 在这个区间上是增函数 减函数 如果在给定的区间上自变量增大 减小 时 函数值反而随着减小 增大 即对于属于这个区间的任意两个不相等的值x1 x2 当 0时 那么就说 y f x 在这个区间上是减函数 区间 任意 任意 任意 任意 任意 任意 区间 区间 区间 区间 区间 y 如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数 就说函数y f x 在这个区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做函数y f x 的单调区间 如图 已知函数y f x 包括端点 y g x 不包括端点 的图象 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 函数是增函数还是减函数 巩固练习 1 2 2 1 o x y o x y y g x 3 3 1 5 1 5 y f x 1 2 2 1 o x y y f x 注 闭区间上的连续函数的单调区间 包括不包括端点都可以 但不连续函数的单调区间不包括不连续点 o x y y g x 3 3 1 5 1 5 注 函数的单调区间 一般是指保持函数单调性的最大区间 证明函数f x 3x 2 在 上是增函数 例1 证明 设x1 x2是 上任意两个实数 且x1 x2 则 函数f x 3x 2在区间 上是增函数 y f x2 f x1 3x2 2 3x1 2 3 x2 x1 3 0 证明函数f x 在区间 0 上是减函数 设x1 x2是 0 内的任意两个正实数 且x1 x2 则 例2 证明 y f x2 f x1 0 用定义证明函数y f x 在某一区间上单调性的步骤 第三步 根据函数单调性的定义 肯定此命题成立 总结 第一步 在此区间上任取两个不相等的实数 巩固练习 1 证明函数f x 3x 2 在 上是减函数 2 证明函数f x 在 0 上是增函数 巩固练习 1 函数
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