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曲线和方程 2020年3月3日星期二 修远中学梁成阳 两坐标轴所成的角位于第一 三象限的平分线的方程是 这就是说 如果点m x0 y0 是这条直线上的任意一点 它到两坐标轴的距离一定相等 即x0 y0 那么它的坐标 x0 y0 就是方程x y 0的解 反过来 如果 x0 y0 是方程x y 0的解 即x0 y0 那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等 它一定在这条平分线上 这样 我们就说x y 0是这条直线的方程 这条直线叫做方程x y 0的直线 试一试 说明圆心为p a b 半径等于r的圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 1 设m x0 y0 是圆上任意一点 因为点m到圆心的距离等于r所以也就是 x0 a 2 y0 b 2 r2即 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 2 设 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 则有 x0 a 2 y0 b 2 r2两边开方取算术根 得即点m x0 y0 到点p的距离等于r 所以点m是这个圆上的点 由 1 2 可知 x a 2 y b 2 r2是圆心为p a b 半径等于r的圆的方程 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 说明 1 从集合观点看定义 曲线上的点的集合记作c 方程 f x y 0的解记作f 3 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 4 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充要条件是 f x0 y0 0 2 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应 问题研讨 例1判断下列结论的正误并说明理由 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线为x 3 2 到x轴距离为2的点的轨迹方程为y 2 3 到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy 1 对 错 错 变式训练 写出下列半圆的方程 条件甲 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 条件乙 曲线c是方程f x y 0的曲线 则甲是乙的 a 充分非必要条件 b 必要条件 c 充要条件 d 非充分也非必要条件 b 若命题 曲线c上的点的坐标满足方程f x y 0 是正确的 则下列命题中正确的是 a 方程f x y 0所表示的曲线是c b 坐标满足f x y 0的点都在曲线c上 c 方程f x y 0的曲线是曲线c的一部分或是曲线c d 曲线c是方程f x y 0的曲线的一部分或是全部 d 求曲线方程的步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3
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