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导数在研究函数中的应用 高二数学组 3 3 1单调性 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具 那种风驰电掣 有惊无险的快感令不少人着迷 能不能把 过山车 这个实际模型数学化呢 通过图形演示你得出了什么结论 函数单调性与导数符号有着密切的关系 讨论 复习旧知 单调增函数与单调减函数 一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间ia 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间i上是单调增函数 i称为y f x 的单调增区间 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间i上是单调减函数 i称为y f x 的单调减区间 区间i 任意 当x1 x2时 都 有f x1 f x2 单调性 单调区间 若函数y f x 在区间i上是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间i上具有单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断差的符号 从而得函数的单调性 导数和函数的单调性到底有什么联系呢 1 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的增函数 2 如果在某区间上f x 0 那么f x 为该区间上的减函数 一般地 设函数y f x 结论 确定函数在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 自我拓展 确定函数 在哪些区间是增函数 说明 当函数的单调增区间或减区间有多个时 单调区间之间一般不用连接 一般分开写用 隔开 自我拓展 4 与定义域求交集 利用导数讨论函数单调性的一般步骤 5 写出单调区间 自我总结 1 求y f x 的定义域d 2 求导数f x 3 解不等式 f x 0或f x 0 求函数f x xlnx的单调区间 自己动手 应用延伸 应用导数信息确定函数大致图象 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 自我小结 2 利用导数的符号来判断函数的单调区间 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用 它充分体现了数形结合的思想 1 在利用导数讨论函数的单调性时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 或证明函数的单调性 课后探索
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