二○○三年全国高中数学联赛试题及略解.pdf

中学数 学研 究 2 O 0 3 年第 1 2 期 且在一些 一般性 的问题上还 可 以进一步推广 数学竞赛题作为它本身的特点 我们一般 是很难直接看出它的结果 这就需我们合理的 进行取值分析 通过有规律 的探 寻 分析出结 果 然后再想办法证明 这是求解数学竞赛题时 常用的一种方法 而且 常常我们在分析取值的 时候 可 以进一步的优化结论 推广结论的 例 5 标准线段问题 在线段 A B的两个端点上 一个标 以蓝色 个标 以红色 在线段中问插入 n个分点 且 在各个分点上随意的标上红色和蓝色 这样就 把原线段分为 n 1 个不重叠的小线段 这些 小线段的两端颜色不同者称做标准线段 试证 标准线段的个数为奇数 分析 1 在 A B之问没有插入点 此时 A B 就是一条标准线段 其个数显然是奇数 2 在 A B之间有一个 点 这 个点 可能是 红 色 也可能是蓝 色 此 时这 三个点 为 红 兰 兰 或者 红 红 兰 由于 红 红 或 兰 兰 是 非 标准线段 不在考虑之内 当然只有一条标准线 段 3 在 A B之间有两个 点 则 四点 的颜色 按 顺序有 红 红 红 兰 红 红 兰 兰 红 兰 红 兰 红 兰 兰 兰 由于相邻的两点同 色为非标准线段 可以不考虑 即可以不把他们 看作线段 或 叫零线段 则 以上 4种情况相应 的标准线段的条数依次为 1 1 3 1 从以上分析 可以很清晰的得 出本题的一 般解 法 设 J I B之问插入 n个点 我们再把问题简 单化 即只限于标准线段 因此 只需把非标准 线段进行一些加工 因为非标准线段的两个端 点是同色 则可把这两个端点重合 即把一切非 标准线段化为零线段 这时 线段 A B上 的所有 点就成为红 兰相间的点 而 A 两个端点又 是一红 一兰 所以标准线段的个数是奇数 评注 解这个题 目时 首先从特殊的 简单 的情形出发 即研究 A B之间不插入点 插入一 个点 插入两个点时标准线段的计数方法 从 中 悟出把非标准线段看作零线段 从而获得解题 的思路 运用特殊化策略进行竞赛问题的解决 是 很常用的办法 通过简单化 特殊化例子入手 划归为简单 特殊情形 通过对简单情形 特殊 情形的分析 观察与处理 从而获得对复杂问 题 一般问题的解决 参考文献 1 王连笑 中等数学 解数学竞赛问题 的方法 2 张春杰 中学数学通讯 数学竞赛中的实验探究 二oo三年全国高中数学联赛试题及略解 一 选择题 本题满分 3 6分 每 小题 6分 本题共 有 5小题 每题 均 给 出 A J C J D J 四个结论 其中有且仅有一个是正确 的 请将正确答案的代表字母填在题后的括号 内 每小题选对得 6 分 不选 选错或选 出的代 表字母超过一个 不论是否写在括号 内 一律 得 0 分 1 删去正整数数列 1 2 3 中的所有 完全平方数 得到一个新数列 这个新数列的第 2 0 0 3 项是 A 2 0 4 6 B 2 o 4 7 C 2 0 a 2 o 4 9 2 设 a 6 R 0 那么 直线 锻 一 b 0 和曲线 k2 的图形是 夺 桨 B c D 3 过抛物线 2 8 2 的焦点 F作倾斜 角为 6 的直线 若此直线 与抛物线交于 A 曰 47 维普资讯 J 千弟 1 2别 中学数 学研 究 两点 孩 A B的中垂线 与 轴交 于 P点 则线段 的长等于 A 弩 B c D 8 f 3 4 若 一 一 号 则 y ta n 等 一 ta n 詈 O 0 s 詈 的 最 大 值 是 A B c D 5 已知 Y都 在 区 间 一2 2 内 且 一 1 则 函数 4一 一 x 一2 14 的最小 值 是 一Y A 8 c D 6 在四面体 A B C D 中 设 A B 1 C D 直 线A B 与C O 的 距 离 为2 夹 角 为 弓 则四 面 体 A B C D的体积等于 A 1 c 专 D 等 二 填 空题 本 题满分 5 4分 每小题 9分 7 不等式 I I 2 x 一4I I 3 0的解 集 是 8 设 F 1 F 2 是 椭 圆 l的两 个 焦 点 P是椭圆上的点 且 I 1 I I P F 2 2 1 则 AP F 1 F 2 的面积等于 9 已知 A I 一 4 x 3 0 R B 1 2 t 一 口 0 一 2 a 7 5 0 R 若 A 则实数 口的取值范围是 1 0 已知 a b c d均为正 整数 且 l o g b 号 lo g d 若口 一 c 9 则6 一 d 1 1 将 八个 半径都 为 1的球 分两层 放 置在 一 个圆柱内 并使得每个球和其相邻 的四个球 相切 且与圆柱的一个底面及侧面都相切 则此 圆柱的高等于 一 1 2 设 十进制 凡位纯小数 0 al a2 a n I 只取 0或 1 i 1 2 凡一1 a l 是 中元素的个数 s 是 中所 4 8 有元素的和 则 n l J m l S n 一 三 解答题 本题 满分 6 I 分 每小题 2 o分 1 3 设 艇 5 证 明不等式 2 m n 已知 其 中 一 而 表示不超过 的最大整数 求 这种三角形周长的最小值 三 本 题满分 5 O分 由 n个点和这些点之间的z 条连线段组成 个空间图形 其中 凡 g g 1 z 吉g g 1 口 2 g J7 r 已知此图中任四点不共面 每点至少有一条连线段 存在一点至少有 口 2 条连线段 证 明 图中必存在一个空 间四边形 即由 四点 A C 和 四条 连 线段 A B B C C D D A组成 的图形 维普资讯 中学数 学研 究 2 0 0 3 年 第 1 2期 答案及 略解 联 赛 CBACDB 二 7 一3 u 5 2一 3 8 4 9 4 口 一l 1 0 9 3 1 1 0 8 2 1 2 三 l 3 利用柯西不等式易得 2 1 2 一3 l 5 3 l 一 1 j i 5 3 1 1 1 1 1 1 2 一3 l 5 3 4 1 6 0 t 5知 2 i 十 2 6 2 西 因为 1 2 x一3 l 5 3 不 能 同时 相等 故等 号不成立 2 l 2 一3 一 f 5 R c o s a y R s in 一 展开后化简得 x a ys m q R2 a f Y 2 R F 0 m a rV x 2 墨 y 2 s i f l 口 一 m口厂 x J2 y 2 s 2 l z l 2 R番 一 2 一 f 三 一 即所求点集合是 上述椭圆 的外 含边界 部 分 加 试 一 连 A B 则 D A B DC B D A B D A Q Q DC B P B C B P C 又 O A Q P B C Q A B BPC A Q B P 四点共 圆 Q A P Q 由 A C D D B A 及 A C D C P A P A C D B A D B Q A B Q知 D B Q C 2 由题 设 可知 3 1 一 3 r n 一 3 m 3 n f 3 f 一3 l 0 4 f 3 3 m 3 眦 2 4 筒I 3 l 3 m 3 n 5 4 由于 3 2 3 5 1 由 可 知 3 3 一 1 ro o d 2 4 设 是 满足 3 兰1 ro o d 2 4 的最小正 整数 则对任意满足 3 1 n o d 2 4 的正整数 我们 有 J 即 整除 事实上 若 u l v 则 由带余 除法可知 存在非负整数 a及 b 使得 a 维普资讯 2 0 0 3年第 1 2 期 中学数 学研 究 b 其中0 m l 所 以有 r s 这样 一 来 三 角 形 的三 个 边 为 5 0 0 r l 5 0 0 s l和 1 由于两 边之差 小 于第三边 故 5 0 0 卜 s 因此 当 s 1 r 2 l 5 0 1 时三 角形的周长最小 其最小值为 1 0 0 0 5 0 1 5 O 0 5 0 1 5 0 1 3 0 0 3 三 设这 t 个点的集合 V A 0 A 1 A 2 A 一 1 为全集 记 A 的所有邻点 与 A 有连线 段的点 的集合为 中点的个数记为 I I b 显然 且 l 一 l 一 n b 2 l b 1 i 0 1 2 1 若存在 b t 一1 时 只须取 5O z l 一1 1 1 q 1 l 一 1 1 q q 1 1 则图中必存在四边形 因此下面只讨论 b l 一1 i 0 1 2 l 一 1 的情况 不妨设