2017_18学年高中数学第一章1.1.2余弦定理学案含解析.docx

余弦定理提出问题在ABC中，若AB2，AC3，A60.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能，|2|2|22|2|22|cos A49223cos 607.|.问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能导入新知余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C化解疑难对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化已知三角形的三边解三角形例1在ABC中：(1)a3，b4，c，求最大角；(2)abc12，求A，B，C的大小解(1)由cba，知C最大，cos C，C120.(2)abc12，设ax，则bx，c2x(x0)由余弦定理，得cos A，A30.同理cos B，cos C0，B60，C90.类题通法已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角活学活用在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和另外两角的余弦值解：acb，A为最大角，由余弦定理得，cos A，又0A180，A120.cos B；cos C.已知三角形的两边及其夹角解三角形例2在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos B824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0A180，A45.故C180AB180456075.法二：由正弦定理，sin A.ba，ca，a最小，即A为锐角因此A45.故C180AB180456075.类题通法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好活学活用在ABC中，已知a2，b2，C15，解此三角形解：c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84() 2，c.法一：由余弦定理的推论得cos A.0A180，A45，从而B120.法二：由正弦定理得sin A.ab，AB，又0A180，A必为锐角，A45，从而得B120.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形例3在ABC中，已知b3，c3，B30，求A，C，a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，C60或120，当C60时，A90，ABC为直角三角形由勾股定理得a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.类题通法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边活学活用已知在ABC中，cos A，a4，b3，则c_.解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5判断三角形的形状例4在ABC中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin C2sin Bcos A，试判断ABC的形状解由正弦定理，可得sin B，sin C.由余弦定理，得cos A.代入sin C2sin Bcos A，得c2b.整理得ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos C.故C.又因为ab，所以ABC为等边三角形类题通法判断三角形的形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状活学活用在ABC中，若cos A，试判断其形状解：由cos A得cos A，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此ABC是以C为直角的直角三角形典例(12分)如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长解题流程 规范解答活学活用如图所示，在ABC中，已知B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB的长解：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，ABAC7.随堂即时演练1在ABC中，b5，c5，A30，则a等于()A5B4C3 D10解析：选A由余弦定理，得a2b2c22bccos A52(5)2255cos 3025，a5.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若0，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D是锐角或直角三角形解析：选C由0得cos C0，所以cos C0，从而C为钝角，因此ABC一定是钝角三角形3(天津高考改编)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC_.解析：由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)答案：14在ABC 中，a1，b2，cos C，则 c_；sin A_.解析：根据余弦定理，c2a2b22abcos C12222124，故c2.因为cos C，于是sin C ，于是，由正弦定理得sin A或：由a1，b2，c2，得cos A，于是sin A .答案：25在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长解：5x27x60可化为(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去)cos C.根据余弦定理，c2a2b22abcos C523225316.c4，即第三边长为4.课时达标检测一、选择题1在ABC中，若b8，c3，A60，则此三角形外接圆的半径为()A.B.C. D.解析：选D由余弦定理，得a2b2c22bccos A823228349，a7.由正弦定理，得2R，R.2在ABC中，若a8，b7，cos C，则最大角的余弦值是()A BC D解析：选C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A.3在ABC中，B60，b2ac，则此三角形一定是()A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析：选B由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac.B60，AC60.故ABC是等边三角形4(全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A. B.C2 D3解