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文档简介

第五节极限运算法则 二 极限的四则运算法则 三 复合函数的极限运算法则 一 无穷小运算法则 一 无穷小运算法则 时 有 定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 证 考虑两个无穷小的和 设 当 时 有 当 时 有 取 则当 因此 这说明当 时 为无穷小量 类似可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设 又设 即 当 时 有 取 则当 时 就有 故 即 是 时的无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小 例1 求 解 利用定理2可知 说明 y 0是 的渐近线 二 极限的四则运算法则 则有 定理3 若 1 2 3 证1 因 则有 其中 为无穷小 于是 由定理1可知 也是无穷小 再利用极限与无穷小 的关系定理 知定理结论成立 证明2略 证3 为无穷小 详见p44 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 得 为无穷小 定理三中的1 2 可以推广到有限个函数的 1 2 推论1 c为常数 推论2 n为正整数 情形 若 则有 提示 因为数列是一种特殊的函数 故此定理可由 定理3 4 5直接得出结论 定理4 例2 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 若 不能直接用商的运算法则 若 例3 求 解 x 1时 分母 0 分子 0 但因 分式求极限一般有如下结果 为非负常数 定理5 证 由第三节定理3推论 有 三 复合函数的极限运算法则 定理6 设 且x满足 时 又 则有 证 当 时 有 当 时 有 对上述 取 则当 时 故 因此 式成立 说明 若定理6中 则类似可得 内容小结 1 极限运算法则 1 无穷小运算法则 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2 求函数极限的方法 1 分式函数极限求法 时 用代入法 分母不为0 时 对 型
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