高中数学第三章3.2回归分析课件选修23.ppt

3 2回归分析 一 线性回归直线方程的求法 例1 研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间是关系 测得一组数据如下 水深x m 流速y m s 1 求y对x的回归直线方程 2 预测水深为1 95m时水的流速是多少 分析 从散点图可以直观地看出变量x与y之间有无线性相关关系 为此把这8对数据在平面直角坐标系中 得到平面上8个点 由图可以看出 x与y之间有近似的线性相关关系 或者说 可以用一个回归直线方程来反映这种关系 这些是我们在必修3中学过的知识 用什么方法求 最小二乘法 利用最小二乘法可以得到的计算公式为 进一步观察这8个点 容易发现 它们并不是 严格地 在一条直线上 对于某个xi 由上式能确定一个 一般地说 由于测量流速可能存在误差 或者受某些随机因素的影响 或者上面的回归方程本身就不够精确 与测得的数据yi很可能不相等 即 i 1 2 8 其中是随机误差项 于是就有 i 1 2 8 这就是本题的线性模型 从上述线性模型出法 我们可以求出a与回归系数b的估计值 使得全部误差的平方和达到最小 当然 这是一种很好的估计 最后得到的求的数学公式为 线性回归方程中 的意义是 以为基数 x每增加1个单位 y相应地平均增加个单位 例1 研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间是关系 测得一组数据如下 1 求y对x的回归直线方程 2 预测水深为1 95m时水的流速是多少 水深x m 流速y m s 解 1 由上面的分析 可采用列表的方法计算a与回归系数b y对于x的回归直线方程为 把x 1 95代入 易得计算结果表明 当水深为1 95m时可以预测渠水的流速约为2 12m s 二 线性回归相关关系的检验 例2 为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系 随机测得10对母女的身高如下表所示 试对x与y进行一元线性回归分析 并预测当母亲身高为161cm时女儿的身高为多少 分析 把这10对数据画出散点图如图所示 可以看出x与y之间有近似地线性关系关系 散点图能帮助我们寻找线性关系关系 既直观又方便 只需一张坐标纸 把已知的成对数据标在直角坐标系中便可得到散点图 即使没有坐标纸 改用普通白纸也可以 因为我们并不要求把点标得十分准确 只要能看出这些点大致分布在某条直线附近就可以了 麻烦在于有时很难说这些点是不是分布在某条直线附近 如下图中的两个散点图 都很难下判断 右边那个图散布的那些点更像在一条曲线附近 此外 假如不考虑散点图 按照例1给出的计算a与回归系数b的公式 我们可以根据一组成对的数据 求出一个回归直线方程 但它能不能反映这组成对数据的变化规律 如不能 这又有多少实际意义呢 为了解决上述问题 我们有必要对x与y作线性相关检验 简称相关性检验 对于变量x与y随机抽到的n对数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 检验统计量是样本相关系数 r具有以下性质 r 1 并且 r 越接近1 线性相关程度越强 r 越接近0 线性相关程度越弱 检验的步骤如下 1 作统计假设 x与y不具有线性相关关系 2 根据小概率0 05与n 2在附表中查出r的一个临界值r0 05 3 根据样本相关系数计算公式求出r的值 4 作统计推断 如果 r r0 05 表明有95 的把握认为x与y之间具有线性相关关系 如果 r r0 05 我们没有理由拒绝原来的假设 这时寻找回归直线方程是毫无意义的 解 由以上分析 先对x与y作相关性检验 1 作统计假设 x与y不具有线性相关关系 2 由小概率0 05与n 2 8在附表中查得r0 05 0 632 3 所以 4 r 0 71 0 632 即 r r0 05 所以有95 的把握认为x与y之间具有线性相关关系 去求回归直线方程是有意义的 回归系数 所以y对x的回归直线方程是 回归系数0 78反映出当母亲身高每增加1cm时女儿身高平均增加0 78cm 可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分 当x 161时 也就是说当母亲的身高为161cm时女儿的身高大致也接近161cm 三 非线性回归问题的解法 例3 在彩色显影中 经经验知 形成染料光学密度y与析出银的光学密度x有公式 b 0 表示 现测得试验数据如下 试求y对于x的回归方程 分析 本例与前三个例子不同 是非线性回归分析问题 由于题目已给出了所要求的曲线类型 只要通过已知的11对样本数据 把a与b确定下来 就找到了描述x与y相关关系的一条函数曲线 在此我们特别指出 确定性关系 如公式 函数关系等 和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟 由于有试验误差 测量误差等存在 变量之间的确定性关系往往通过研究相关关系表现出来 反过来 在有些问题中 可以通过研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律 从而找到它们的确定性关系 解 根据以上的分析 由题目给出的经验公式两边取自然对数 便得 与线性回归直线方程相对照 只要取u v lny a lna 就有v a bu 这是v对u的线性回归直线方程 对此我们已掌握了一套相关性检验 求a与回归系数b的方法 1 作统计假设 u对v不具有线性相关关系 2 由小概率0 05与n 2 9在附表中查得r0 05 0 602 3 进行计算得 r 0 998 4 r 0 998 0 602 即 r y0 05 从而有95 的把握认为u与v之间具有线性相关关系 求v对于u的回归直线方程有意义 5 计算可得 把u与v换回原来的变量 即u 可得 即 这就是y对于x的回归方程 试验点及回归曲线的图形如图所示 例4 以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据 1 画出数据的散点图 2 用最小二乘估计求回归直线方程 并在散点图上加上回归直线 3 此回归直线有意义吗 解 1 数据的散点图见右图 2 109 回归直线方程为 1 8166 0 1962x 3 y与x的相关系数 查表 n 2 3时 临界值r0 05 0 878 由r r0 05知 变量y与x之间具有线性相关关系 回归直线是有意义的 练习题 1 设有一个回归方程为 2 1 5x 则变量x增加一个单位时 a y平均增加1 5单位 b y平均增加2单位 c y平均减少1 5单位 d y平均减少2单位 c 2 回归直线方程 a bx必定过点 a 0 0 b 0 c 0 d d 3 回归直线方程的系数a b的最小二乘估计 a 使函数q a b 最小 q函数指 a b c d 4 下列说法中正确的是 a 任何两个变量都具有相关关系b 人的知识与其年龄具有相关关系c 散点图中的各点是分散的没有规律d 根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的 b 5 若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是 2x 1250 若用水量为50kg时 预计的某种产品