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实例简析 IB 数学报告的要求和特点 马 峰 上海市上海中学 200231 1 IB数学报告概要 IB 数学报告 这里指标准水平和较高水平 有两份 统称为 Portfolio 两份报告必须分属 IBO International Bacclaureate Organization 所规定 的两种不同类型 类型 I 数学研究 mathematical investigation 类型 II 数学建模 mathematical modeling 两种类型从不同角度考察学生的数学 能力 相比而言 I 型报告重视学生观察规律 总 结规律 数学推理 合理猜想并对自己所得结论进 行严格数学证明的能力 也即我们常说的 先猜后 证 而 II 型报告强调的是学生在给定情境下 收 集数据 分析数据 合理建模 理性思考模型的适 合度并加以改进的水平 以上两种类型与我国教 育部颁布的 普通高中数学课程标准 以下简称 标准 提到的要求学生在高中阶段至少做一份 数学探究课题和一次数学建模活动有异曲同工之 妙 IB 数学报告六大评价指标如下 A 数学符号和术语使用 2 分 B 表达 3 分 C 数学过程 5 分 寻找规律 I 型 建立模型 II 型 D 数学结果 5 分 总结 I 型 解释 II 型 E 现代技术 3 分 F 整体质量 2 分 符号和术语的正确使用 表达能力 现代技术 的使用等非数学能力考察类的指标占了满分 20 分中将近半壁江山 而直接考察学生数学能力的 指标 C 和 D 也只是顶起了 半边天 而已 IB 数 学考试对学生的语言组织能力和严谨的表达等目 标的重视程度可见一斑 就算学生在报告中没有 得到最终的正确结果 仍可以在其它各项指标完 成的前提下 得到可能最高 19 分的高分 我国的 标准 没有对数学探究和数学建模的成果进行量 化评价的意见 标准 对课题论文的 怎么写 的 要求似乎有待进一步完善 IB 的前两项标准可以 给我们提供一点参考信息 这两项标准见附录 1 IB 数学报告的命题有较高的要求 报告的命 题不仅应该是考察了相应水平的大纲中的某一主 题 充分考虑到上述各项评价指标 也就是命题本 身应能够给学生创造拿到各项指标满分的机会 还应让学生在做报告的过程中体会数学的研究方 法 领略数学在其他领域的应用 感受并欣赏数学 内在的美 命题本身还应该创造多元的解题途径 这一点特别是对 I 型报告的命题提出了很高的要 求 IB 数学报告强调良好的数学写作和有思想 性的总结回顾 试图提供学生一个提高他们自身 对数学概念和数学过程进行理解的机会 它试图 给学生一个在正常情况下 也就是没有与书面考 试带来的时间限制和精神紧张的条件下 解决数 学问题的水平 做数学 portfolio 提供给学生自信地展现 我 知道什么 和 我能做什么 的机会 亲身经历和感 受数学的美 力量和用途的机会 发现 使用和欣 赏计算器或电脑在做数学时的强大的工具功能的 机会 帮助学生发展耐心和恒心 这些似与国 内目前常常提到的 情感目标 不谋而合 更多更详细的关于 IB portfolio 的目标请见 附录 2 2 IB数学报告评价指标导读 IB 报告全篇需要学生使用科学的数学符号 和术语 不能随意杜撰 学生要使用合适的方法 包括图像 语言 表格 符号等对自己的观点提供 支持 要求学生充分利用计算器或电脑等现代技 术来促成报告的完成 如果只是使用计算器或电 脑进行简单的计算或打印不被认为是 充分使用 212010 年 第 49 卷 第 4 期 数学通报 了现代技术 I 型报告要求学生科学地呈现数学过程 包 括寻找规律的过程 要求学生展示得到结论所使 用的数学策略 学生应科学地收集数据 分析数 据 并且在得到结论后能够利用其他例子来测试 结论 根据总结的规律或者结构正确给出一般结 论 指出一般结论的范围和限制 能给出一般结论 的正确并规范的证明 II 型报告定义模型的变量和参数和条件并能 正确分析它们 科学呈现模型的建立过程并建立 合乎给定的实际情境并合乎该课程水平的模型 还应考虑模型适合数据的程度 并把该模型推广 到其他情形中去 在合适精度和给定情境下 正确 解释模型结果的合理性 可能情况下 指出模型的 局限性并给出改进的模型 我们的 标准 在宏观面上对评价的指导语已 经有了 但在微观面上似仍有待完善 3 IB数学 I 型报告实例与简析 1 考虑序列 an n 1 这里 a1 1 2 a2 2 3 a3 3 4 a4 4 5 找出一般项 an的表 达式 2 考虑级数 Sn a1 a2 a3 an 这 里 ak的定义来自上一步 a 计算几个 Sk的值 包括 S1 S2 S3 S6并且观察规律 b 猜想 Sn的一般表达式 c 用归纳法证明你的猜想 d 利用上述结果 计算 1 2 22 3 2 4 2 n2 3 考虑 Tn 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n n 1 n 2 a 计算几个 Tk的值 包括 T1 T2 T3 T6 并且观察规律 b 猜想 Tn的一般表达式 c 用归纳法证明你的猜想 d 利用上述结果 计算 1 3 23 3 3 4 3 n3 4 考虑 Un 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 n n 1 n 2 n 3 a 计算几个 Uk的值 包括 U1 U2 U3 U6 并且观察规律 b 猜想 Un的一般表达式 c 用归纳法证明你的猜想 d 利用上述结果 计算 14 24 34 44 n4 5 利用上面观察到的规律 你可以为下面 的表达式猜想一个一般公式吗 Vn 1 2 3 m 2 3 4 m 1 n n 1 n 2 n m 1 m 1 6 利用观察到的规律 你可以为级数 1k 2k 3k 4k nk猜想一个一般表达式吗 简析 这是一个 I 型报告 它看起来就象一 个大的数学题目 但如果细致推敲的话 会发现它 是一个 低起点 高立意 的报告 说它 低起点 是因为第一步实在是简单至极 接下来的三步 2 3 4 如出一辙 看起来学生是在反复做类似的题 目 不过细细咀嚼这三步中的子问题时 我们发现 题目的 良苦用心 特殊值 观察规律 猜 想 证明 应用 当走过第 5 步 来到第 6 步 的时候 发现前面的题目真的是 一环扣一环 步步为营 说它 高立意 是因为 1 k 2k 3k 4k nk一般公式的推导不是一件简单的事 情 自从希腊数学家阿基米德开始研究以来 很多 中外数学家和学者乐此不疲 并得到了许多有益 的方法和结果 比如 早在 17 世纪 Bernoulli 的 猜度术 便给出了一般结果的通式 那么 IB 把这 个艰难的事情交给中学生来做的目的何在 真的 期望中学生能把它做出来吗 从 IB 对我校 2008 届考生报告质量的反馈来看 学生如果指出递归 方法 就可以在指标 D 结果上拿到满分 而这似 乎已经达到了命题者的本意 重过程 重方法 可 以说是 IB 报告的一个鲜明特点 4 IB数学 II型报告实例与简析 第一部分 抛掷 216 个色子 并把其中出现 6 的都取 出 继续抛掷剩下的色子 取出所有的 6 如此继 续下去 需要抛掷的色子越来越少 请做这个试验 并记录相应数据 投掷次数0123 剩余色子数216 1 绘图并猜想一个或者更多能够刻划上述 数据的函数 利用实验数据检测你的模型并且说 明它们在图像上的合适程度 2 利用模型预测何时剩下的色子数是原来 的一半 把上述结果与试验数据比较 22数学通报 2010 年 第 49 卷 第 4 期 3 重复以上两个步骤并且预测何时剩余色 子数变成原来总数的四分之一 4 抛掷 100 个 12 面的色子 把显示 12 的 色子去掉 如此继续 猜想一个数学模型 根据模 型预测何时剩下的色子数变成原来总数的一半 5 生成 1 12 的随机数来模拟这个 100 个 12 面色子的试验 给出与前一个试验类似的表 格 利用产生的数据来检测你在步骤 4 中建立的 模型 第二部分 许多放射性元素可以用做 地质钟 每一个 放射性元素都以自己恒定的速率降解 一旦知道 这个速率 地质学家就可以通过测量放射性母元 素和其生成的稳定的子元素的数量来估计这个物 质发生降解的时间 每一个放射性元素都有自己 唯一的 半衰期 半衰期 是指一半的母元素降 解为子元素所需要的时间 放射性元素 C 14 普 遍存在于大气和所有生物体中 生物体在活着的 时候不断吸收它 一旦某种动物或植物死了 它便 不再吸收 C 14 因此 C 14 在体内的数量由于 降解的进行而不断减少 过了 5730 年后 只有一 半的 C 14 仍留在体内 1 利用以上信息猜想一个数学模型 从而建 立起还未降解的 C 14 的数目和初始 C 14 数 目的关系 2 一个新石器时代的洞穴中发现了一根骨头 样品 根据测定 剩下的 C 14 的数量只是生命体 上C 14的数量的 1 这根骨头距今多久了 3 解释 C 14 为何不能用来测定恐龙骸骨 的年代 4 C 14 测年法是基于怎样的根本性的假 设 讨论科学家如何才能说明 C 14 测年是科 学有效的 简析 我们讨论一下这份命题所体现的允许多元解 决途径和创新的地方 在上述例子中 建立数学模型 可以用多项式 拟合 可以用指数函数拟和 也可以用幂函数拟 合 甚至可以用 试错法 手工建模 那么用什么工 具进行拟合呢 学生可以使用 T I 计算器 也可以 使用 CASIO 计算器 Microsoft Excel 等计算机 软件的内嵌拟合功能也是不错的选择 学生利用 不同方法得到的模型显然千差万别 而且相当一 部分模型拟合得还很好 此外 通过不同途径得到 的同一类模型很可能在参数上还不一致 这些是 为什么 此刻学生的批判性思维被积极调动 其 实这些模型没有对与错的问题 只有适合不适合 的问题 同时 学生应该能认识到其中只有指数函 数模型才能符合该项实验的本质 但是 指数函数 模型是否真是完美的呢 学生在这方面可以展开 深入的思考 除了用现代技术进行拟合得到模型 部分功底扎实的学生还应能够通过微积分知识 利用微分方程dy dx ky 得到模型 注 y 是剩余色 子数 x 是投掷色子的次数 k 是比例常数 在做 12 面色子的抛掷试验中 学生可以直接 利用Microsoft Excel 的随机数功能 或者使用T I 计算器的生成随机数功能 也可以干脆下载抛掷 色子的 TI 程序 特别值得一提的是我班级里有一 名学生自己动手编写了一个简单的 Java 小程序 达到了生成随机数的目的 在测试模型时 另外一名学生在报告中提到 了只用一次实验来测试模型的可信程度是远远不 够的 见上述例子中第一部分的第五步骤 事实 上 这正是这篇报告命题的一处 软肋 于是这位 同学不仅指出了这一点 还凭借自身的不俗的计 算机水平 自己动手开发了一个软件 这个软件能 够进行 220次抛掷色子的实验 通过取得色子实验 半衰期 的平均值 更能有效可信地评价模型 既 然 IB 报告本身就鼓励多元和创新思维 学生把自 己学习计算机编程的知识自然地应用到了数学学 科 也可以说是达到了两门学科的 双赢 效应 受 益的是学生本人 看来 做 IB 数学报告时 学生真的是在 主 动 地学 研究性 地学 就象做学问的学者 由此 带来的意义自然是深远而长久的 5 争鸣 关于 IB 报告的评价标准 IB 教师有很多讨 论 这里略举几个例子 争鸣 1 IB 采用教师打分 电脑抽样 moderator 再次打分 senior moderator 抽查 的机制 如果各阶段评价结果不符 按照 modera tor 或 senior moderator 提供的分数整体下调或 上拉整个班级的报告的成绩 不可否认 这是一套 232010 年 第 49 卷 第 4 期 数学通报 操作性很强的评分与监督机制 但其科学性还有 待商榷 目前 似乎没有人能提出一个比这个机制 更有效 更科学 更易于操作的办法 国外很多人 都喜欢这个谚语 If it s not broken don t fix it 争鸣 2 各个评价标准是否都科学有效 如 现代技术的使用问题 在上文 I 型报告的分析 本 文第 6 部分 当中 其实只有学生 A 用到了现代 技术 那么不用现代技术 纯粹用推理和计算得到 结果的 I 型报告就不是好的数学报告了吗 显然 不是 但是评价标准 E 此时又作何解释呢 这是 一个很多 IB 一线教师在讨论的问题 有一种想法 是 I 型报告中的现代技术标准可以考虑去除 II 型报告中的此项标准保留 争鸣 3 标准 F 有重复性评价的嫌疑 操作 性不强 争鸣 4 IB 报告的命题来自教师或 IBO 命 题质量 特别是命题是否紧扣评价标准成为学生 得分高低的一个关键因素 这似乎是在 考 老师 的命题水平 而不是学生的水平 当然教师也可以 自行命题 但从 IB 老师的经验来看 似乎自己的 命题往往达不到IB 的要求 导致 moderator 把分 数整体下调 为此 大部分 IB 老师为了保证学生 的得分 倾向于使用官方的命题 然而官方提供 的命题太有限了 反观我们的 标准 应该特别 鼓励学生在学习数学知识 技能 方法 思想的过 程中发现和提出自己的问题并加以研究 特别 要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题 提出 问题 这似乎比 IB 的体系要高明一些 但 标准 也同时提到 教师应努力成为数学探究课题的创 造者 数学建模可以由教师根据教学内容以及 学生的实际情况提出一些问题供学生选择 6 总结与展望 国内基础教育也越来越强调学生进行自主研 究性学习的能力 但受诸多因素的制约 国内自主 研究性学习的教与学的氛围还远未形成 IB 课程 作为国际主流课程体系之一 其学生报告作为内 部评估的做法似乎可以给我们一点启示 当然如 何去借鉴它的做法 还要花大气力去研究 不能简 单的照搬 必须考虑到国内基础教育的具体情况 普通高中数学课程标准 已经是我们一个勇敢的 尝试 它必将在不断的摸索中逐渐完善 在我国的 现代教育事业中体现出它应有的价值 参考文献 1 马峰 IB 数学 高水平 与 AP 微积分 BC 的异同初探 中学数学教学参考 高中 2008 4 2 T eacher Support M aterial M athematics HL First Ex am inations 2006 September 2005 International Bacclaureate Or ganization 3 Group 5 curriculum report October 2007 International Bacclaureate Organiz