实变函数论教案第三章.doc

第三章 测 度 论实变函数论的核心内容是勒贝格（Lebesgue）积分. 本章介绍勒贝格测度理论是为建立勒贝格积分作好必要的准备. 在中建立Lebesgue积分理论，不可避免地要对中的一般点集给出类似于中区间长度的“适当的度量”，这种度量就是以后所说的测度. 对于中的区间长度的度量，归纳我们日常生活经验，不难发现我们已经在潜移默化地使用了以下约定俗成的公理，即长度公理：长度公理：对于实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每个，都对应一个实数，使得1（非负性）；2（有限可加性）如果两两不相交，那么；3（正则性）. 但是，仅仅根据凭经验得来的这三条长度公理，实际上只给出了区间的长度，能够量出“长度”的点集是不多的，能做到的也只是有限个线段之并那样的点集. 例如中“有理数集合”是可数个点之并，就没有长度可言. 同样中“无理数集合”的长度是多少也无法确定. 这样，我们应该修改长度公理，扩大集合族的范围，使更多的集合具有新意义的长度，也就是我们所说的测度. 看来，非负性和正则性的要求非常自然，是不能修改的，那么只有修改第二条的有限可加性. 我们很自然地想到把有限可加性改为“无限可加性”，然而无限可加性的提法是不能任意的，这是因为如果简单地提无限可加性会出现矛盾，例如，一点所成的集合的长度是，如果任意无限可加性可以成立，那么中全体有理数和全体无理数所成集合的长度都是0，于是区间的长度也是0，这是矛盾的. 法国数学家Lebesgue用可数可加性考察如下的“测度”：勒贝格测度公理：对于实数直线上的一部分集合族，使得每个，都对应一个实数，满足1（非负性）；2（可数可加性）如果两两不相交，那么；3（正则性）. 根据这一公理，中有理数集是可数个点的集合，每点的测度是0，所以它的勒贝格测度是0；而中无理数集不可数就不会是0了，应该是1. 那么，满足勒贝格测度公理的在集合族上定义的集函数是否存在？由哪些集合所构成？是否每个集合都有测度呢？这些问题都是本章要解决的. 1 外测度教学目的：让学生理解掌握空间中Lebesgue 测度外测度的定义,并能通过Lebesgue外测度定义推导Lebesgue 外测度的基本性质。本节重点：外测度的次可列可加性。本节难点：外测度之次可列可加性的证明。众所周知，在中，求圆的面积可以用包含它的外切多边形面积的下确界来定义. 更一般地，我们可以用一些长方形（在也称为区间）去分割圆，然而长方形的面积之和近似代替圆的面积的这种想法也可以求中一般的立体的体积的近似值. 这一想法正是我们定义外测度的出发点，启发我们给出如下外测度的定义：定义1 设是中的点集，是中的一列开区间，则确定一个非负的数（可以等于）. 记，是开区间，称为的Lebesgue外测度. 应该注意到，由于没有假定是有界集，所以有可能是. 定理.1 （1），当为空集时，（非负性） （2）若，则 （单调性） （3） （次可数可加性）证明 （1）对任何覆盖的开区间列，都有，因而0是，是开区间的一个下界，因而，是开区间，即. 当时，则对任意的，设，则，而，所以，由是任意的，所以. （2）设，则任一覆盖了的开区间列也覆盖了，即，是开区间，是开区间. 所以，是开区间，是开区间. 因此. （3）对任意的，由下确界含义，对每个都有一开区间列，使，而（本来应该是“”号，这里用“”号，是因为可能是）. 这样，且 因此，由是任意的，于是. 例1 设是可数点集，则. 证明 因为是中的可数点集，所以设，其中，对任意的，设，则，且，所以，由是任意的，所以. 例2 设是区间，则. 证明 （1）设为闭区间，对任意的，存在开区间，使得，且，由外测度定义，由是任意的，有. 下证. 对任意的，存在一列开区间，使，且. 由有限覆盖定理，在中存在有限多个开区间，使得. 因为，所以，因此. 由是任意的，有，于是. （2）设为任意区间，对任意的，作闭区间及，使，且，这样，因此. 由是任意的，于是. 3.2 可测集教学目的：让学生理解可测集和测度的定义，并能利用可测集的定义推出其性质。本节重点：如果有一些集合可测，那么这些集合的至多可数次交、并及差集运算也仍然可测。本节难点：测度的可列可加性的证明。外测度的优点是任何集合都有外测度，但外测度只有次可数可加性. 事实上，在中的确存在互不相交的一列集合，使得. 因此，若把外测度当作测度，则不能期待对任何集合都有测度，如果把外测度的定义域加以限制，即设法在中找出某一集合类，在上能够满足测度公理，这是可以做到的. 如何从中挑出集合类呢？中的集合应该对可数并、交、差运算封闭，应包括及中的所有有限开区间，而且对中一列互不相交的集合成立. （3.2.1）若，则对任何开区间，应成立 （3.2.2）对于（3.2.2）式，我们有下面的结果：引理 设，则（3.2.2）式对任何开区间都成立的充分必要条件是对中的任何点集都有 （3.2.3）证明 充分性. 若对任何点集，（3.2.3）式成立，则因，取时，（3.2.3）式也成立，此即对任何开区间，（3.2.2）式成立. 必要性. 设，为中任意点集，由外测度定义，对任意的，存在一列开区间，使得，且. 由于，所以由外测度的单调性和次可数可加性，有，从而 （证必要性，对任何开区间，（3.2.2）式成立） . 由是任意的，有. 另一方面，由于，有综上. 由前面描述的如果一个集合是可测的，它应满足（3.2.2）式，而由引理1，（3.2.2）与（3.2.3）等价，下面我们用（3.2.3）式给出可测集的定义. 定义1 设为中的点集，如果对任意点集，都有，则称为Lebesgue可测集，此时称为的Lebesgue测度，简记为. 这个定义是由卡拉泰屋独立（Caratheodory，1873-1950，希腊数学家）给出的，（3.2.3）式称为Caratheodory条件. Lebesgue可测集简称可测集，可测集全体记为，若，则称是可测的. Caratheodory条件有一个等价的叙述方式，即：定理1 集合可测的充要条件是对任意，总有. 证明 必要性，设可测，则满足Caratheodory条件，取，则，由Caratheodory条件，有充分性，设对任意的，总有，则对任意的，令，则，且，所以. 由Caratheodory条件知可测. 定理2 可测的充分必要条件是可测. 证明 设可测，则对任意的，有 所以可测. 设可测，则对任意的，有 所以可测. 定理3 设，都可测，则也可测，并且当时，对于任意的总有 （3.2.4）证明 先证可测，即要证对任何都有 （3.2.5）因为可测，所以对任何有 （3.2.6）又因为可测，取，则有，这样由（3.2.6）式有 因为可测，并且，所以由定理3.2.1，有 因此，有，于是可测. 其次证明（3.2.4）成立. 当时，因为可测，由定理3.2.1，有 推论1 设都可则，则也可测，并且当时，对任何集合总有. 定理4 设，都可测，则也可测. 证明 因为，由定理3.2.2及定理3.2.3，可测. 推论2 设都可测，则也可测. 定理5 设，都可测，则也可测. 证明 因为，所以可测. 定理6 设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且 （3.2.7）证明 先证可测. 因为对任何，可测，所以对任意的总有 （推论1）令，有 （3.2.8） 另一方面，由于，所以，因此。于是可测. 在（3.2.8）式中，令，由，便有，而由外测度的性质，因此. 推论3 设是一列可测集，则也是可测集. 证明 将表示成互不相交的可测集列的并集，只要设，则，且是一列互不相交的可测集. 由定理3.2.6，有是可测集. 定理7 设是一列可测集，则也是可测集. 证明 因为，所以是可测集. 定理8 设是一单调增加的可测集列，则可测，且. 证明 ，并且，因此由定理3.2.6（3.2.7式），有 定理9 设是单调减少的可测集列，则可测，若存在，使，则有. 证明 由于是单调减少的可测集列，所以，因而可测，设. 令，则是单调增加集列，由定理3.2.8，可测，且. 注意到，是单调增加集列，所以. 所以，从而 因此，而，.于是. 本定理中的存在,使的条件是不可缺少的. 例如，设,则是单调减少集列，所以，但是，所以. 因此.3 可测集类教学目的：使学生了解到特殊的可测集以及一般可测集的构造。本节重点：内填外包法构造可测集的思想。在前一节中，我们给出了可测集的概念，并讨论了可测集关于并、交、差基本运算的一些性质，也讨论了可测集合列极限运算的性质. 但我们还不知道一般常见的点集究竟有哪些是可测的，可测集的结构又是什么样的，本节就来讨论这些问题. 1开集的可测性定理1 （1）若，则可测，此时称为零测度集；（2）零测度集的任何子集仍为零测度集；（3）有限个或可数多个零测度集的并集仍为零测度集。证明 （1）若，对任意的点集，所以，从而. 另一方面， ，这样. 由Caratheodory条件，是可测集. （2）设是零测度集，是的任一子集，则由，有，所以，是零测度集. （3）设是至多可数多个零测度集，由外测度的次可数可加性，所以，是零测度集. 定理2 中任何开区间都是可测的，并且. 证明 先证明关于外测度的一个重要结果：设，是中的两个点集，若，则. 证明 由外测度的性质，有，以下证明，若，则结论成立. 设，对任意的，存在一列开区间，使且. 设，则，逐个考察这些开区间，如果中只含有中点或只含有中点，则保留. 若不然，因为，可以将分解成互不相交的有限多个，比如说个直径都小于的小开区间. 显然.因为的个边界都是维空间中的点，因而在维空间都是零测度集，对每一个边界，因为是中的闭集，且由于的直径都小于，所以它们的每个边界或者只含有中点，或者只含有中点，因而有中开区间使且中只含有中点或只含有中点还满足. 这样覆盖的个边界的个开区间满足，将所有保留下来的，改造某些而得到的开区间，以及覆盖边界的全部取来，得到可数多个开区间，记为，则，. 对于开区间列，它们中的每一个或者只含有中点或者只含有中点，或者直径小于，因而它们中的每一个都不能即含有中点又含有中点. 将分为两组：（1）；（2）. 则 . 由是任意的，所以. 综上. 接下来证明可测并且. 设，显然对任意的，恒有，欲证可测，只须证明.令，则，且当充分大时，. 因为，从而. 由上面证明关于外侧度的重要结果知。如能证明，则结果得证. 显然，因为，所以，即 因此. 于是可测，且. 该定理是一个基本的定理，正是由于该定理，我们所定义的测度才是中开区间体积的推广. 这也是在本章开头所说的测度公理的正则性. 有了这条定理，才能推出开集可测，进而推出中的许多类型的点集的可测性. 这个定理叙述简单，结果简明，然而证明不能说很复杂，却可以说很啰唆，在参考书目1中给出一维情形和二维情形的证明，而在3中给出了一个一般性的证明，但用到了外测度的性质：若，（,的距离），则，而这一性质的证明也是在一维情形给出的. 有了这个定理，则对于中的任何区间（闭的或半开半闭的）都是可测的，且. 这是因为中的任何区间与相应的开区间至多相差个中的子集，这个中的子集是中的区间，在中，体积为零. 因而这个中的子集是零测集，即. 其中是零测集，因而可测，所以可测，因此. 定理3 中的开集、闭集都是可测集中的开集可以表示成有限个或可数多个互不相交的开区间的并，中的开集可以表示成可数多个互不相交的左开右闭的区间的并，而区间是可测的，所以开集是可测的，而闭集是开集的余集，因而闭集也可测. 定理得证. 由开集和闭集是可测的，可以推出型集和型集是可测的. 2Lebesgue可测集的结构定义1 设是中一些集合所成的集类. 如果满足条件：（1）；（2）当时，有；（3）若是中的一列集合，则. 则称是上的一个代数. 不难发现，关于代数有以下结果：若是上的代数，则（1）；（2）若是中的一列集合，则；（3）中的一切子集所成的集类是代数；（4）如果是上的代数，是指标集，则也是上的代数. 定义2 设是中某些子集所成的集类，称上包含的代数的交集为由生成的代数，记为. 由上面的讨论知，是代数，且是包含的最小代数，即若有上的代数，使，则. 定义3 设，是开集，即是中所有开集所成的集类. 记由生成的代数为，即，称中的集合为波雷尔（Borel）集. 不难看出，前面定义的型集和型集是Borel集. 定理4 凡Borel集都是Lebesgue可测集. 证明 设是中Lebesgue可测集全体所成的集类. 下面证明是代数. 因为对任何，所以是可测集，因而. 若，即是可测集，则也是可测集，所以. 若是中一列集合，因为是可测集，则. 因而由定义3.3.1知是代数. 由于开集是Lebesgue可测集，所以中所有开集所成的集类中，而Borel集类是包含的最小代数，因此，从而Borel集都是Lebesgue可测集. 很自然地会提出这样的问题：既然Borel集都是Lebesgue可测集，那么Lebesgue可测集是否都是Borel集呢？回答是否定的. 因为有不是Borel集的Lebesgue可测集，而且这样的集是相当多的. 定理5 设是任一可测集，则一定存在型集，使，且. 证明 （1）先证对任意的，存在开集，使，且. （i）若，由测度定义，有一列开区间，使，且. 令，则是开集，且. 所以，由，有，因此. （i