青海2018届中考数学复习第1编第3章函数及其图象第5节二次函数的图象及性质精讲习题.docx

第五节二次函数的图象及性质,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017解答28二次函数(1)与坐标轴的交点；(2)直线的解析式；(3)三角形面积的最大值12122016解答28二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形、四边形的综合12122015解答28二次函数(1)二次函数解析式；(2)利用二次函数判断三角形的形状；(3)二次函数与相似三角形的综合13132014解答28二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形的综合13132013解答28二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与四边形的综合；(3)二次函数与相似三角形的综合1212命题规律纵观青海省五年中考，每年都涉及到此考点，以解答题的形式呈现，偶尔增加小题，解答题一般与三角形、四边形综合在一起考查，难度较高，往往是最后的压轴题预计2018年青海省中考，仍会考查此点，且以解答题(压轴题)的形式出现，应加强综合训练.,青海五年中考真题) 二次函数的图象及性质1(2012西宁中考)如图，二次函数yax2bxc的图象过(1，1)，(2，1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是(B)A当x0时，y的值大于1B当x3时，y的值小于0C当x1时，y的值大于1Dy的最大值小于0二次函数图象和性质的综合应用2(2017青海中考)如图，抛物线yx2x2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称(1)求点A，B，C的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由x2x20，得x23x40，x11，x24，A(1，0)，B(4，0)，当x0时，y2，C(0，2)；(2)D点与C点关于x轴对称，D点坐标为(0，2)设直线BD的解析式为ykxb，则直线BD的解析式为yx2；(3)存在这样的点P.设P点坐标为，过点P作PEx轴，与x轴交于点F，与BD交于点E，如答图则E点坐标为，|PE|m2m2m2m2m4，SPBDSPDESPEB|PE|OF|PE|BF|PE|(|OF|BF|)|PE|OB|4m22m8(m1)29.当m1时，PBD的面积取得最大值9.此时，m2m212123，P点坐标为(1，3)3(2016青海中考)如图所示(注：与图完全相同)，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求该二次函数的解析式；(2)设该抛物线的顶点为D，求ACD的面积；(请在图中探索)(3)若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动当P，Q运动到t s时，APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标(请在图中探索)图图解：(1)二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)，解得yx2x4；(2)如答图，过点D作DMy轴于点M.yx2x4(x1)2，点D，点C(0，4)，则SACDS梯形AOMDSCDMSAOC(13)1344；(3)四边形APEQ为菱形如答图，E点关于PQ与A点对称，过点Q作QFAP于F，FQOC，AFt，FQt，Q.EQAPt，E.E在二次函数yx2x4上，t4，t或t0(与A重合，舍去)，E.4(2015青海中考)如图，二次函数yax2bx3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式；(2)判断BCM的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数yax2bx3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，解得则抛物线解析式为yx22x3；(2)BCM为直角三角形理由如下：对于抛物线解析式yx22x3(x1)24，即顶点M坐标为(1，4)，令x0，得到y3，即C(0，3)，根据勾股定理得BC3，BM2，CM.BM2BC2CM2，BCM为直角三角形；(3)存在点P的坐标为(0，0)或(9，0)或.5(2014青海中考)如图所示，抛物线yax2bxc的顶点为M(2，4)，与x轴交于A，B两点，且A(6，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)求ABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由解：(1)设此函数的解析式为ya(xh)2k.函数图象顶点为M(2，4)，ya(x2)24，又函数图象经过点A(6，0)，0a(62)24，解得a，此函数的解析式为y(x2)24，即yx2x3；(2)点C是函数yx2x3的图象与y轴的交点，点C的坐标是(0，3)在yx2x3中，令y0，则x2x30，解得x16，x22，点B的坐标是(2，0)，SABC|AB|OC|8312；(3)假设存在这样的点P，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F.设E(x，0)，则P.设直线AC的解析式为ykxb.直线AC过点A(6，0)，C(0，3)，解得直线AC的解析式为yx3.可设点F的坐标为，则|PF|x3x2x，SAPCSAPFSCPF|PF|AE|PF|OE|PF|OA|6x2x(x3)2，当x3时，SAPC有最大值，此时P点坐标是.6(2013青海中考)如图，已知抛物线经过点A(2，0)，B(3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，且过A(2，0)，B(3，3)，O(0，0)可得解得抛物线的解析式为yx22x；(2)当AO为边时，A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，DEAO2.点E在抛物线对称轴上，对称轴为直线x1，点E的横坐标为1，点D的横坐标为3或1，代入yx22x，得y3.D(3，3)或(1，3)；当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，点E在对称轴上，对称轴为直线x1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D(1，1)综上所述，点D的坐标为(3，3)或(1，3)或(1，1)；(3)点B(3，3)，C(1，1)，BOC为直角三角形，COB90，且OCOB13，若PMACOB，设PMt，则AM3t，点P(23t，t)，代入yx22x得(23t)22(23t)t，解得t10(舍)，t2，P；若PMABOC，设PM3t，则AMt，点P(2t，3t)，代入yx22x得(2t)22(2t)3t，解得t10(舍)，t25，P(3，15)综上所述，点P的坐标为或(3，15),中考考点清单)二次函数的概念及解析式1定义：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系，可以表示成yax2bxc(a，b，c是常数，且a0)，那么称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项2三种表示方法(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)两点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标3三种解析式之间的关系顶点式一般式两点式4二次函数解析式的确定(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式；当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax2bxc形式；当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式ya(xh)2k形式；当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式ya(xx1)(xx2)(2)步骤：设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式二次函数的图象及其性质5图象性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象对称轴直线x_直线x顶点坐标续表函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)增减性在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当_x_时，y有最小值，y最小值抛物线有最高点，当x时，y有最大值，y最大值_6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0_开口向下_bb0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc0_经过原点_c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b24acb24ac0与x轴有唯一交点(顶点)b24ac0与x轴有两个不同交点b24ac0与x轴没有交点特殊关系当x1时，yabc当x1时，yabc若abc0，即x1时，y0若abc0，即x1时，y0二次函数图象的平移7平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式ya(xh)2k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可8.平移规律移动方向平移前的解析式平移后的解析式规律向左平移m个单位长度ya(xh)2kya(xhm)2k左加向右平移m个单位长度ya(xh)2kya(xhm)2k右减向上平移m个单位长度ya(xh)2kya(xh)2km上加向下平移m个单位长度ya(xh)2kya(xh)2km下减口诀：左加右减、上加下减二次函数与一元二次方程的关系9当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根10当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根11当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根12二次函数与一元二次方程及b24ac的关系二次函数yax2bxc与x轴的交点个数一元二次方程ax2bxc0根的情况b24ac有两个交点(x1，0)，(x2，0)有两个不相等的实数根x1，x2b24ac0只有一个交点，交点坐标为(，0)有两个相等的实数根x1x2b24ac0没有交点没有实数根b24ac0,中考重难点突破) 二次函数的图象与性质【例1】(2017宜宾中考)如图，抛物线y1(x1)21与y2a(x4)23交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：a；ACAE；ABD是等腰直角三角形；当x1时，y1y2.其中正确结论的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】抛物线y1(x1)21与y2a(x4)23交于点A(1，3)，3a(14)23，解得a，故正确；E是抛物线的顶点，AEEC，无法得出ACAE，故错误；当y3时，3(x1)21，解得：x11，x23，故B(3，3)，D(1，1)，则AB4，ADBD2，AD2BD2AB2，ABD是等腰直角三角形，正确；(x1)21(x4)23时，解得：x11，x237，当37x1时，y1y2，故错误，故选B.【答案】B1(2017襄阳中考)将抛物线y2(x4)21先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)Ay2x21 By2x23Cy2(x8)21 Dy2(x8)232(2017泰安中考)已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如表：x1013y3131下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为x1；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2bxc0有一个根大于4，其中正确的结论有(B)A1个 B2个 C3个 D4个3(2017青岛中考)若抛物线yx26xm与x轴没有交点，则m的取值范围是_m9_二次函数的图象和性质的综合应用【例2】(2017菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4，0)，与过A点的直线相交于另一点D，过点D作DCx轴，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在线段OC上(不与点O，C重合)，过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)把B(4，0)，点D代入yax2bx1即可得出抛物线的解析式；(2)先用含t的代数式表示P，M坐标，再根据三角形的面积公式求出PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出PCM面积的最大值；(3)若四边形BCMN为平行四边形，则有MNDC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论【答案】解：(1)把点B(4，0)，点D，代入yax2bx1中，得解得抛物线的解析式为yx2x1；(2)设直线AD的解析式为ykxb.A(0，1)，D，直线AD的解析式为yx1.设P(m，0)，M.PMm1.CDx轴，PC3m，SPCMPCPM(3m)，SPCMm2m，PCM面积的最大值是；(3)OPt，点M，N的