2017_18学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示第二课时集合的表示学案含解析.docx

第二课时集合的表示列举法提出问题观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示导入新知列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法化解疑难使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为a1，a2，an；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法提出问题观察下列集合：(1)不等式x23的解集；(2)函数yx21的图象上的所有点问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法导入新知描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征化解疑难1描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法2描述法的一般形式它的一般形式为xA|p(x)，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，xA是明确的，则xA可以省略，只写元素x.用列举法表示集合例1(1)设集合A1,2,3，B1,3,9，若xA且xB，则x()A1B2C3 D9(2)用列举法表示下列集合：不大于10的非负偶数组成的集合；方程x2x的所有实数解组成的集合；直线y2x1与y轴的交点组成的集合；方程组的解解选B(1)xA，x1,2,3.又xB，x1,3,9，故x2.(2)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是0,2,4,6,8,10方程x2x的实数解是x0或x1，所以方程x2x的所有实数解组成的集合为0,1将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故直线y2x1与y轴的交点组成的集合是(0,1)解方程组得用列举法表示方程组的解集为(0,1)类题通法用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来活学活用已知集合A2，1,0,1,2,3，对任意aA，有|a|B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意aA，有|a|B.因为集合A2，1,0,1,2,3，由1，2,0,1,2,3A，知0,1,2,3B.又因为B中只有4个元素，所以B0,1,2,3.用描述法表示集合例2(1)用符号“”或“”填空：Ax|x2x0，则1_A，1_A；(1,2)_(x，y)|yx1(2)用描述法表示下列集合：正偶数集；被3除余2的正整数的集合；平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解(1)将1代入方程，成立；将1代入方程，不成立故1A，1A.将x1，y2代入yx1，成立，故填“”(2)偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN*，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN*设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故x3n2，nN.所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故坐标轴上的点的集合可表示为(x，y)|xy0答案(1)类题通法利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1不能写成x1(2)所有描述的内容都要写在花括号内例如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将kZ也写进花括号内，即xZ|x2k，kZ(3)不能出现未被说明的字母(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程x22x10的实数解集可表示为xR|x22x10，也可写成x|x22x10(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如直角三角形，自然数等活学活用下列三个集合：Ax|yx21；By|yx21；C(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合(2)集合Ax|yx21的代表元素是x，且xR，所以x|yx21R，即AR；集合By|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1，所以y|yx21y|y1集合C(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，是满足yx21的数对可以认为集合C是坐标平面内满足yx21的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线yx21的图象.集合表示的应用例3(1)集合A1，3,5，7,9，用描述法可表示为()Ax|x2n1，nNBx|x(1)n(2n1)，nNCx|x(1)n(2n1)，nNDx|x(1)n1(2n1)，nN(2)设集合B.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.解选C(1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.(2)当x1时，2N；当x2时，N.所以1B,2B.N，xN，2x只能取2,3,6.x只能取0,1,4.B0,1,4类题通法判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系例如，集合A1,9,12，则0A,9A.(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系活学活用用列举法表示集合A(x，y)|yx2，1x1，且xZ解：由1x1，且xZ，得x1,0,1，当x1时，y1；当x0时，y0；当x1时，y1.A(1,1)，(0,0)，(1,1)典例集合Ax|ax22x10，aR中只有一个元素，求a的取值范围解当a0时，原方程变为2x10，此时x，符合题意；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，当44a0，即a1时，原方程的解为x1，符合题意故当a0或a1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素多维探究解答上面例题时，a0这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况：一是a0，即它是一元一次方程；二是a0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式来解决问题求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：1在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素当A中只有一个元素时，由例题可知，a0或a1.当A中没有元素时，44a1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a|a0或a12在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素由例题可知，当a0或a1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，44a0，即a0；方程|y2|0的解集为2，2；集合(x，y)|y1x与集合x|y1x是相等的其中正确的是_(填序号)解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故正确；方程|y2|0等价于即解为有序实数对(2，2)，解集为(2，2)或，故不正确；集合(x，y)|y1x的代表元素是(x，y)，集合x|y1x的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故不正确答案：4已知A1，2,0,1，Bx|x|y|，yA，则B_.解析：|1|1，|2|2，且集合中的元素具有互异性，B0,1,2答案：0,1,25用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x1)(x2)0的解集；(6)不等式2x15的解集解：(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)x|x是梯形或梯形(4)x|x3n，nZ(5)1,2(6)x|x3课时达标检测一、选择题1下列集合的表示，正确的是()A2,33,2B(x，y)|xy1y|xy1Cx|x1y|y1D(1,2)(2,1)解析：选C2,33,2，故A不正确；(x，y)|xy1中的元素为点(x，y)，y|xy1中的元素为实数y，(x，y)|xy1y|xy1，故B不正确；(1,2)中的元素为点(1,2)，而(2,1)中的元素为点(2,1)，(1,2)(2,1)，故D不正确2已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0MB2MC4M D4M解析：选D当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4M.当x，y，z都小于零时，代数式的值为4，所以4M.当x，y，z有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0M.综上知选D.3集合xN*|x32的另一种表示法是()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5解析：选Bx32，xN*，x0，且1A，则实数a的取值范围是_解析：1x|2xa0，21a0，即a2.答案：a|a28已知5x|x2ax50，则集合x|x24xa0中所有元素之和为_解析：由5x|x2ax50，得(5)2a(5)50，所以a4，所以x|x24x402，所以集合中所有元素之和为2.答案：2三、解答题9已知集合Aa3，(a1)2，a22a2，若1A，求实数a的值解：若a31，则a2，此时A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去若(a1)21，则a0或a2.当a0时，A3,1,2，满足题意；当a2时，由知不符合条件，故舍去若a22a21，则a1，此时A2,0,1，满足题意综上所述，实数a的值为1或0.10用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；(2)方程x2y24x6y130的解集；(3)二次函数yx210的图象上的所有点组成的集合解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为8(2)方程x2y24x6y130可化为(x2)2(y3)20，方程的解集为(2，3)(3)“二次函数yx210的图象上的所有点”用描述法表示为(x，y)|yx21011(1)已知集合M，求M；(2)已知集合C，求C