2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时 两角和与差的正弦学案 新人教B版第三册.doc

第1课时两角和与差的正弦学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题(重点)1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.两角和与差的正弦公式(1)s：sin()sin_cos_cos_sin_.(2)s：sin()sin_cos_cos_sin_.2.辅助角公式f(x)asin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .思考：根据公式c()的识记规律，你能总结出公式s()的记忆规律吗？提示对比公式c()的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式s()的记忆规律：“正余余正，加减相同”1.cos 17sin 13sin 17cos 13的值为()abcd以上都不对a原式sin(1317)sin 30.2.函数ysin xcos x的最小正周期是()abc2d4cysin xcos xsin，函数的最小正周期为t2.3.已知为锐角，sin ，是第四象限角，cos()，则sin()_.0为锐角，且sin ，cos .又为第四象限角，且cos()cos ，cos ，sin .sin()0.利用公式化简求值【例1】(1)()abcd(2)求sin 157cos 67cos 23sin 67的值(3)求sin(75)cos(45)cos(15)的值思路探究(1)化简求值应注意公式的逆用(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值(1)csin 30.(2)解原式sin(18023)cos 67cos 23sin 67sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901.(3)解sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换1.化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos()解(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.给值(式)求值【例2】设，若cos ，sin ，求sin()的值思路探究应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值解因为，cos ，所以sin ，因为，sin ，所以cos .所以sin()sin cos cos sin .1.(变结论)若条件不变，试求sin()cos()的值解sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 1.2.(变条件)若将角的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解因为，cos ，所以sin .因为为第三象限，所以cos .所以sin()sin cos cos sin 0.1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值辅助角公式的应用探究问题1.函数f(x)sin xcos x(xz)的最大值为2对吗？为什么？提示不对因为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.2.函数f(x)3sin x4cos x的最大值等于多少？提示因为f(x)3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则f(x)5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数的最大值为5.3.如何推导asin xbcos xsin(x)公式？提示asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)【例3】设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到思路探究辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并解(1)f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xsin ，当sin 1时，f(x)min，此时x2k(kz)，所以x2k(kz)所以f(x)的最小值为，x的集合为.(2)将ysin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得ysin x的图像；然后将ysin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)sin的图像. (变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？解由本例解析知函数可化为f(x)sin，当2kx2k(kz)，即2kx2k(kz)时，函数为增函数；当2kx2k，即2kx2k(kz)时，函数为减函数所以函数f(x)的单调增区间为(kz)，函数f(x)的单调减区间为(kz)1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成yasin(x)的形式求解2.函数图像可通过ysin xysinysin的顺序得到1.两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的，均为任意角(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.1.若cos ，是第三象限的角，则sin()abc dacos ，为第三象限角，sin ，由两角和的正弦公式得sin sin cos cos sin .2.函数f(x)sin xcos的值域为()a2,2 bc1,1 dbf(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，故选b3.sin