第四节平板应力分析教学文稿.doc

第四节平板应力分析教学文稿 1第四节平板应力分析第二章压力容器应力分析CHAPTERSTRESS ANALYSISOF PRESSUREVESSELS2过程设备设计2.4.1概述2.4.2圆平板对称弯曲微分方程主要内容2.4.3圆平板中的应力2.4.4承受对称载荷时环板中的应力2.4平板应力分析3过程设备设计教学重点承受均布载荷时圆平板中的应力。 教学难点圆平板对称弯曲微分方程的推导。 2.4平板应力分析2.4平板应力分析4过程设备设计2.4.1概述平封头常压容器、高压容器；储槽底板可以是各种形状；换热器管板薄管板、厚管板；板式塔塔盘圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。 2.4平板应力分析应用6过程设备设计（ （2）载荷与内力载荷平面载荷横向载荷复合载荷（作用于板中面内的载荷）（垂直于板中面的载荷）内力薄薄膜膜力弯曲内力中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形2.4平板应力分析2.4.1概述（续）7当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论过程设备设计2.4平板应力分析2.4.1概述（续）8过程设备设计弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫Kirchhoff变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线的挠度。 w只有横向力载荷2.4平板应力分析2.4.1概述（续）9过程设备设计2.4.2圆平板对称弯曲微分方程图图2-29圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力t/2t/2zr+drd?d?zQ rdrtrQ r+PM?M rM?d?PTM?M?Q roora.b.c.d.p zM rrdQ rdrdrdrM r+dM rdrdM rM r+drdrdrQ r+dQ rdryRr分析模型2.4平板应力分析10过程设备设计分析模型半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z内力M r、M、Q Q r三个内力分量在在r、z圆柱坐标系中轴对称性几何对称，载荷对称，约束对称，在在r、z圆柱坐标系中挠度只是r的函数，而与无关。 w2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）2.4平板应力分析11过程设备设计挠度微分方程的建立微元体用半径为r和r+dr的的两个圆柱面和夹角为d的两个径向截面截出板上一微元体如图229（a）、（b）t/2t/2zr+drd?d?zQ rdrtrQ r+PM?M rM?d?PTM?M?Q roora.b.c.d.p zM rrdQ rdrdrdrM r+dM rdrdM rM r+drdrdrQ r+dQ rdryRr基于平衡、几何、物理方程2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）(b)图图2-29圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力12过程设备设计挠度微分方程的建立基于平衡、几何和物理方程微元体内力径向Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向M、M横向剪力Qr、Qr+（dQ r/dr）dr微元体外力上表面P=prddr2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）t/2t/2zr+drd?d?zQ rdrtrQr+PM?M rM?d?PTM?M?Q roora.b.c.d.p zMrrdQ rdrdrdrMr+dM rdrdM rMr+drdrdrQ r+dQ rdryRr(c)图图2-29圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力13过程设备设计 （11）平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T T的力矩代数和为零，即M TT=0?022sin2?drdr dp dr rd QddrM rdM d dr r drdrdMMz r rrr?0?r QM rdrdMMrrr?（2-54）t/2t/2zr+drd?d?zQ rdrtrQr+PM?MrM?d?PTM?M?Q roora.b.c.d.p zMrrdQ rdrdrdrMr+dM rdrdMrMr+drdrdrQ r+dQ rdryRr圆平板在轴对称载荷下的平衡方程2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）s insin22dd?又(d)图图2-29圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力14?d?rdrrn1nzABm m1+d?d?nn1AB?zzm1mza.b.rww过程设备设计（ （2）几何方程取径向截面上与中面相距为z，为半径为r与与两点A与B构成的微段dr r?dr AB?W2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）图图230圆平板对称弯曲的变形关系15过程设备设计板变形后微段的径向应变为?drdzdrz dzr?过过A点的周向应变为?rzrr zr?222drdw?作为小挠度，带入以上两式，应变与挠度关系的几何方程drdwrzdrw dzr?22（2-55）2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）16过程设备设计（ （3）物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。 由广义虎克定律可得圆板物理方程为?rr rEE?2211（2-56）2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）17过程设备设计（ （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程2-55代入2-56式?222222111drw ddrdwrEzdrdwr drw dEzr?（2-57）2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）18过程设备设计（ （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩和表示成的形式。 由式（2-57）可见，和沿着厚度（即z z方）向），均为线性分布，图图2-31中所示为径向应力的分布图。 rM?Mr?图图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系MrM rzzoorrt/2t/2ldzz2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）?19过程设备设计、的线性分布力系便组成弯矩、。 单位长度上的径向弯矩为r?rM?Mzdz Mttrr?22?2222221ttdz zdrdwrdrw dE?drdwrdrwdD Mr?22?221drw ddrdwrDM?（2-58a）（2-58b）?23112?EtD“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关同理2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）20过程设备设计2-58代入2-57，得弯矩和应力的关系式为ztMztMrr331212?（2-59）2-58代入平衡方程2-54，得DQdrdwr drwdr drwdr?2223311受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程DQdrdwrdrdr drdr?1（2-60）Qr值可依不同载荷情况用静力法求得2.4平板应力分析2.4.2圆平板对称弯曲微分方程（续）21过程设备设计2.4.3圆平板中的应力 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 二、承受集中载荷时圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）简支固支2.4平板应力分析22过程设备设计 一、承受均布载荷时圆平板中的应力图22-32均布载荷作用时圆板内Q Qrr的确定rM rQr QrM rOr据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即222prrp rQr?代入2-60式中均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为Dprdrdwrdrdr drd?21对对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率rC rCDprdrdw213216?（2-61）对对r连续三次积分（得到中面在弯曲后的挠度）32214ln464C rCr CDprw?（2-62）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）23过程设备设计C 1、C 2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C20，于是上述方程改写为321413464216Cr CDprwrCDprdrdw?（2-63）式中C 1、C3由边界条件确定。 2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）24过程设备设计下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）Rpa.b.Rzr rRRzp图图2-33承受均布横向载荷的圆板周边固支圆平板周边简支圆平板周边固支圆平板周边简支圆平板2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）25过程设备设计Rpa.b.Rzr rRRzp1.周边固支圆平板图图2-33周边固支圆平板在支承处不允许有挠度和转角,R r?0?drdw,R r?0?w将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数,821DpRC?DpRC?6443?222226416r RDpwr RDprdrdw?得周边固支平板的斜率和挠度方程代入式（2-63）（2-64）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）26过程设备设计将挠度对r的的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式?3111631162222?r RpMr RpMr（2-65）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式?318322262r RtpMtrr?3118322262?r RtpMt?（2-66）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）27过程设备设计周边固支圆平板下表面的应力分布，如图22-34(a)所示。 最大应力在板边缘上下表面，即图图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）?22max43tpRr?28过程设备设计2.周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C 1、C3得周边简支平板的挠度方程代入式（2-63）（2-67）图图2-33承受均布横向载荷的圆平板Rpa.b.Rzr rRRzp,R r?,R r?0?w0?rM?1464222222rRRr RDpw2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）29过程设备设计弯矩表达式?313163162222?rRpMrRpMr（2-68）应力表达式?31383383222222?r RtprRtpr?（2-69）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）30过程设备设计不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处，?3162max maxpRM Mr?22max max833tpRr?0?r周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。 图图2-34（b）周边简支圆板的弯曲应力分布（板下表面）2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）31过程设备设计3.支承对平板刚度和强度的影响a.挠度周边固支时，最大挠度在板中心DpRwf?644max周边简支时，最大挠度在板中心DpRws?64154max?（2-70）（2-71）3.0?这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 08.43.013.05maxmax?fsww简支固支2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）32过程设备设计b.应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为?22max43tpRfr?（2-72）周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为?22max833tpRsr?（2-73）3.0?65.123.3maxmax?frsr?这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。 2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）33挠度反映板的刚度应力反映板的强度周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板过程设备设计2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）34过程设备设计?tpRtQr43123maxmax?最大正应力与同一量级；最大切应力则与同一量级。 因而对于薄板Rt，板内的正应力远比切应力大。 ?2tRtR内力引起的切应力在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力，（处）近似采用矩形截面梁中最大切应力公式?2maxpRQr?R r?bhQ23max?得到2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）35过程设备设计max?和W max与圆平板的材料（E、）、半径、厚度有关若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）36过程设备设计4.薄圆平板应力特点板内为二向应力、。 平行于中面各层相互之间的正应力及剪力引起的切应力均可予以忽略。 r?z?rQ?正应力、沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最大值，是纯弯曲应力。 r?应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。 薄板结构的最大弯曲应力与成正比，而薄壳的最大拉拉（压）应力与成正比，故在相同条件下，薄板所需厚度比薄壳大。 max?2tRmax?tRtR2.4平板应力分析2.4.3圆平板中的应力（续）37过程设备设计 二、承受集中载荷时圆平板中的应力rM rQrQ rMr F图图2-35圆板中心承