2017_18学年高中数学第一章1.7简单几何体的面积和体积1.7.3球课件.pptx

7 3球 1 理解球的截面 并能解决相关问题 2 了解圆的切线的相关概念 记住球的表面积和体积公式 3 会用球的表面积公式和体积公式进行有关计算 并能解决一些简单的实际问题 1 球的截面 1 如图 用一个平面 去截半径为R的球O 截面是圆面O 则球心与截面圆心的连线OO 垂直于截面 设球心到截面的距离为d O 的半径为r 则有如下关系 R2 r2 d2 2 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆 被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆 2 球的切线当直线与球有唯一交点时 称直线与圆相切 其中它们的交点称为直线与球的切点 过球外一点的所有切线的长度都相等 3 球的体积4 球的表面积设球的半径为R 那么它的表面积S 4 R2 说明 1 球的表面积和体积公式均是关于球的半径的函数 2 球的表面不像柱体 锥体和台体那样可以展开在一个平面上 即使是球面上任意小的一块 也不能展开在一个平面上 因此球的表面没有展开图 做一做1 直径为6的球的表面积和体积分别是 A 144 144 B 144 36 C 36 144 D 36 36 答案 D 做一做2 8个半径为1的铁球 熔化成一个大球 则大球的表面积是 答案 16 做一做3 过球的某一条半径的中点 作一个垂直于这条半径的截面 截面面积为48 cm2 求球的表面积 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 在球内有相距为1的两个平行截面 截面面积分别是5 和8 球心不在两截面之间 求球的表面积 分析 求球的表面积或体积只需要求出球的半径 要求球的半径只需解球的半径 截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 解 设球的半径为R 过截面圆圆心作垂直于截面的球的轴截面 过轴的截面 如图所示 圆O是圆心在球心的圆 A1B1 A2B2分别是两个平行截面圆的直径 过圆心O作OC1垂直A1B1于点C1 并延长交A2B2于点C2 因为A1B1 A2B2 所以OC2 A2B2 由圆的性质可得 C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点 题型一 题型二 题型三 题型四 反思球的轴截面 过球心的截面 是将球的问题转化为圆的问题的关键 因此必须抓住球的轴截面 利用其性质列出方程 组 求球的半径 进而解决问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 三个球的半径之比为1 2 3 则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 答案 C 题型一 题型二 题型三 题型四 反思计算球的体积或体积的简单应用都需要认真解决球的半径问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 一个平面截一球得到直径为6cm的圆面 球心到这个截面的距离为4cm 则球的体积为 解析 如图所示 由已知 O1A 3cm OO1 4cm R OA 5cm 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 在球面上有四个点P A B C 如果PA PB PC两两互相垂直 且PA PB PC a 求这个球的体积 分析 因为PA PB PC是两两互相垂直且相等的三条棱 所以可以将三棱锥P ABC看成一个正方体的一角 P A B C四点在球面上 所以此球可视为以PA PB PC为相邻三条棱的正方体的外接球 其直径为正方体的体对角线 题型一 题型二 题型三 题型四 解 设球的半径为R 因为PA PB PC两两互相垂直 且PA PB PC a 所以以PA PB PC为相邻三条棱可以构造正方体 又因为P A B C是球面上的四点 所以球是所构造的正方体的外接球 正方体的体对角线是球的直径 反思与球有关的组合体问题 通常有两种情况 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系 并作出合适的截面图 球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面 球与多面体的组合 通常通过多面体的一条侧棱和球心 或 切点 接点 作出截面图 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 解 设正方体的棱长为a 正方体的内切球球心是正方体的中心 切点是六个正方形的中心 经过四个切点及球心作截面 如图甲 所以有2r1 a 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 考虑问题不全而致误 例4 一个球内有相距9cm的两个平行截面 面积分别为49 cm2和400 cm2 求球的表面积 错解 如图所示 设OD xcm 由题意知 CA2 49 CA 7cm 又 BD2 400 BD 20cm 设球的半径为Rcm 则有 CD DO 2 CA2 R2 OD2 DB2 即 9 x 2 72 x2 202 x 15 R 25 S球 4 R2 2500 cm2 错因分析 本题出现错解的原因在于考虑不周 由于球心可能在两个截面之间 也可能在两个截面的同一侧 因此解决此题要分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 1 当球心在两个截面的同侧时 解法同错解 2 当球心在两个截面之间时 如图所示 设OD x 则OC 9 x 设球的半径为R 可得x2 202 9 x 2 72 R2 此方程无正数解 即此种情况不可能 综上可知 球的表面积是2500 cm2 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 设球O的半径为5 一个内接圆台的两底面半径分别是3和4 求圆台的体积 解 如图所示 分两种情况 12345 答案 B 12345 2 如果两个球的半径之比为1 3 那么这两个球的表面积之比为 A 1 9B 1 27C 1 3D 1 1解析 设两个球的半径分别为R1 R2 答案 A 12345 3 两个球的表面积之差为48 它们的大圆周长之和为12 则这两个球的半径之差为 A 4B 3C 2D 1解析 设两个球的半径分别为R r R r 由题意 知答案 C 1