椭圆偏微分方程解的水平集的凸性.doc

椭圆偏微分方程解的水平集的凸性【摘要】：凹凸性是几何对象的一种基本特性，在光滑情形也是一种可以通过微分来描述的特性，因而凸性的研究既是几何研究的需要，也使得它跟分析产生自然的联系，从而凸性也成为分析研究的重要内容；不仅如此，随着对偏微分方程研究的深入，人们发现有时凸性亦是研究方程本身的需要，例如自由边界问题(见后文)。因此，凸性研究不仅有着长久的历史，也越来越成为人们感兴趣的问题。在研究微分方程的凸性时，通常可分为研究方程解本身的凸性和解的水平集的凸性，解的凸性可导出水平集的凸性，从这一角度来说，水平集的凸性是更精细的问题。本文对偏微分方程中研究凸性的历史做一些总结，利用经典的极值原理，首先给出一类低维p-调和函数的水平集凸性的定量估计。同时，常秩定理是处理关于凸性问题的一个强有力工具，它在偏微分方程解的几何性质及微分几何中的应用有着深刻意义。本文亦对预定平均曲率超曲面的水平集的常秩定理作了尝试。另外，我们对低维极小超曲面的水平集凸性亦作了估计，并发现了与二维极小超曲面水平线有关的一些调和或下调和函数，由此可同时得到其水平集严格凸性的新证明。最后，我们用分部积分法研究完全非线性问题，给出了一类Hessian不等式不存在性结果的新证明。主要结果如下：定理001设u为R2中区域上的p-调和函数，即满足方程且|u|0，u的水平集凸，则当3/2p3时，u的水平集的高斯曲率不能在内部取到最小值，除非是常数。定理002设u为R3中区域上的p-调和函数，即满足方程且|u|0，u的水平集严格凸，则当p2时，u的水平集的高斯曲率不能在内部取到最小值，除非是常数。定理003(相关术语见后文)设M2为R3中极小曲面，若M2的相对于方向的高度函数u无临界点，即|u|0，相应水平线的曲率为K，最速下降线的曲率为G，则(i)|u|(-1)K、|u|(-1)G是M2上的调和函数。(ii)ln1/|K|、ln1/|G|均是M2上的下调和函数。对于三维极小超曲面，我们也有如下的水平集凸性的定量估计：定理004设M3为R4中极小超曲面，若M3的相对于方向的高度函数无临界点，水平集均为局部严格凸的，则水平集的高斯曲率不能在M3内部取到最小值，除非是常数。推论005若M3为R3中凸环上具有齐Dirichlet边界条件(见(114)的说明)的极小图，则M3的水平集的高斯曲率不能在M3内部取到最小值。设Mn为R(n+1)中的光滑超曲面，X：MR(n+1)为浸入，满足方程其中H是Mn的平均曲率，N是Mn在X处的单位法向量，f为光滑函数。任取R(n+1)中的单位向量，则相对于方向Mn的高度函数可表达为u(X)=X，其中，表示R(n+1)中欧氏内积，于是，相应于方向、高度为t的Mn的水平集表示为利用上述记号,关于超曲面水平集的常秩定理可叙述为：定理006对于上述(003)预定平均曲率的连通超曲面Mn，若Mn的相对于方向的高度函数u无临界点，即|u|0，且水平集均为局部凸的，即水平集的第二基本形式半正定，则当f0且f(-1/2)是凹函数时，水平集的第二基本形式取常秩。除了研究偏微分方程解的凸性以外，我们还用分部积分的方法，重新证明了一个著名定理。具体叙述如下：对Hessian不等式：其中_r(A)表示nn阶对称矩阵A的特征根的第r阶基本对称函数，考虑其容许解u_k：=uC2(Rn)|_r(-D2u)0，r=1，k，我们有如下的不存在性结果：定理007若2kn，令k_*：=nk/n-2k，则(?)_(-，k_*，(005)在_k中无正解。【关键词】：调和函数p-调和函数水平集常秩定理高斯曲率平均曲率极小曲面Hessian不等式【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2008【分类号】：O175.25【目录】：中文摘要7-9英文摘要9-12第一章引言12-421.1凸性的历史12-201.2凸性证明方法举例20-261.3活动标架与超曲面的水平集26-381.4本文主要结果38-42第二章定理1.4.1的证明42-50第三章定理1.4.2的证明50-70第四章定理1.4.4的证明70-80第五章定理1.4.6的证明80-90第六章定理1.4.8的证明90-102第七章分部积分法