高中数学《定积分的简单应用》导学案 北师大版选修22(1).doc

第3课时定积分的简单应用1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.问题1:当xa,b时,若f(x)0,由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积s=.问题2:当xa,b时,若f(x)g(x)0时,由直线x=a,x=b(ab)和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的平面图形的面积s=.问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为.1.用s表示图中阴影部分的面积,则s的值是().a.ac f(x)dxb.|ac f(x)dx|c.ab f(x)dx+bc f(x)dxd.bc f(x)dx-ab f(x)dx2.由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为().a.v=01 (y)2dyb.v=01 12-(x2)2dxc.v=01 (x2)2dxd.v=01 (12-x2)dx3.汽车以v=(3t+2) m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是m.4.求由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积.求不分割型图形的面积计算由曲线y2=x,y=x2所围成平面图形的面积s.分割型图形面积的求解计算由直线y=x-4,曲线y=2x以及x轴所围成图形的面积s.简单旋转几何体的体积计算椭圆x2a2+y2b2=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积.求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.求由曲线y=x,y=2-x,y=-13x所围成图形的面积.连接坐标原点o及点p(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形,将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算这个圆锥体的体积.(用定积分求解)1.由曲线y=x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为().a.103b.4c.163d.62.一物体在变力f(x)=5-x2(力单位:n,位移单位:m)作用下,沿与f(x)成30方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时f(x)做的功为().a.3 jb.233 jc.433 jd.23 j3.由曲线y=3-3x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.4.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t(0,1)所围成的图形(阴影部分),求其面积的最小值.(2012年湖北卷)已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则它与x轴所围图形的面积为().a.25b.43c.32d.2考题变式(我来改编):答案第3课时定积分的简单应用知识体系梳理问题1:abf(x)dx问题2:-abf(x)dx问题3:abf(x)-g(x)dx问题4:v=abf(x)2dx基础学习交流1.d根据定积分的几何意义可知d正确.2.b由旋转体体积的定积分表示可知b正确.3.132s=123t+2)dt=(32t2+2t)12=324+4-(32+2)=10-72=132(m).4.解:联立y=2x2,y=-4x-2,解得直线与抛物线的交点横坐标为x=-1,由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为-112x2+4x+2)dx=(23x3+2x2+2x)-11=23+2+2+23-2+2=163.重点难点探究探究一:【解析】由题意画出草图,由y2=x,y=x2,得交点的横坐标为x=0及x=1.因此所求图形的面积为s=s曲边梯形oabcs曲边梯形oabd=01xdx-01x2dx=23x3201-13x301=23-13=13.【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤:(1)根据题意画出图形;(2)找出范围,确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)将面积用定积分表示;(5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果.探究二:【解析】(法一)作出直线y=x-4,曲线y=2x的草图.解方程组y=2x,y=x-4,得直线y=x-4与曲线y=2x交点的坐标为(8,4),直线y=x-4与x轴的交点为(4,0),因此所求图形的面积为s=s1+s2=042xdx+482xdx-48x-4)dx=223x3204+223x3248-12(x-4)248=403.(法二)把y看成积分变量,则s=04y+4-12y2)dy=(12y2+4y-16y3)04=403.【小结】两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选x运算较繁锁,则积分变量可选y,同时要更换积分上、下限.探究三:【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆y=baa2-x2及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体.因此v=-aaa(x)dx=b2a2-aaa2-x2)dx=43ab2.【小结】合理的确定被积函数是解题的关键,对于对称性较强的几何体,可以用曲线的一部分绕轴旋转得到.思维拓展应用应用一:由y=x2-4,y=-x+2,得x=-3,y=5或x=2,y=0,所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-4的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为s,根据图形可得s=-32x+2)dx-32x2-4)dx=(2x-12x2)-32-(13x3-4x)-32=252-(-253)=1256.应用二:画出图形,如图所示.解方程组y=x,x+y=2,y=x,y=-13x及x+y=2,y=-13x,得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),所以s=01x-(-13x)dx+132-x)-(-13x)dx=01x+13x)dx+132-x+13x)dx=(23x32+16x2)01+(2x-12x2+16x2)13=23+16+(2x-13x2)13=56+6-139-2+13=136.应用三:直角三角形斜边的直线方程为y=rhx,所以所求圆锥体的体积为v=0h(rhx)2dx=r2h2(13x3)0h=13hr2.基础智能检测1.c由y=x及y=x-2得x=4,所以由y=x、y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为04x-x+2)dx=(23x32-12x2+2x)04=163.2.c由于f(x)与位移方向成30角.如图,f在位移方向上的分力f=fcos 30,w=125-x2)cos30dx=32125-x2)dx=32(5x-13x3)12=3283=433(j).3.4所求体积v=-11(3-3x2)dx=(3x-x3)-11=4.4.解:s1=t3-0tx2dx=t3-13t3=23t3,s2=t1x2dx-(1-t)t2=13-13t3-(1-t)t2=23t3-t2+13,s1+s2=43t3-t2+13,t(0,1).由导数求得,当t=12时,s1