2017_18学年高中数学第一讲1.4直角三角形的射影定理课件.pptx

四直角三角形的射影定理 1 射影 1 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足 叫做这个点在这条直线上的正射影 2 线段在直线上的正射影 一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段 叫做这条线段在这条直线上的正射影 3 射影 点和线段的正射影简称为射影 做一做1 如图 AD BC EF BC 垂足分别为点D E 指出点A B C D E F G和线段AB AC AF FG在直线BC上的射影 解 由AD BC EF BC可知 点A在直线BC上的射影是点D 点B在直线BC上的射影是点B 点C在直线BC上的射影是点C 点D在直线BC上的射影是点D 点E F G在直线BC上的射影都是点E 线段AB在直线BC上的射影是DB 线段AC在直线BC上的射影是DC 线段AF在直线BC上的射影是DE 线段FG在直线BC上的射影是点E 2 直角三角形的射影定理 1 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 2 符号表示 如图 CD是Rt ABC的斜边AB上的高 则 AC2 AD AB BC2 BD AB CD2 AD DB 名师点拨1 应用射影定理的条件 1 三角形是直角三角形 2 给出直角三角形斜边上的高 2 射影定理的逆定理仍然成立 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 符号表示 如图 在 ABC中 CD AB于点D 若CD2 AD BD 则 ABC为直角三角形 做一做2 如图 在Rt ABC中 C是直角 CD AB于点D 若AD 4 BD 2 则CD AC BC 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 一条线段的射影不可能是点 2 在Rt ABC中 C是直角 CD AB于点D 则AD2 AC AB 3 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 利用射影定理解决计算问题 例1 如图 D为 ABC中BC边上的一点 CAD B 若AD 6 AB 10 BD 8 求CD的长 分析 由条件知 ADB 90 即AD BC 进一步可得 BAC 90 由射影定理求CD的长 解 在 ABD中 AD 6 AB 10 BD 8 满足AB2 AD2 BD2 故 ADB 90 即AD BC CAD B 且 C CAD 90 C B 90 BAC 90 在Rt BAC中 AD BC 由射影定理可知 AD2 BD CD 即62 8CD 故CD 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟利用直角三角形的射影定理解决计算问题时 首先要创造应用射影定理的条件 即构造直角三角形或垂直关系 然后再对照射影定理建立线段长度之间的等量关系 最后通过解方程求得相应线段的长度 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 答案 A 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 利用射影定理解决证明问题 例2 如图 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于点D DF AC于点F DE AB于点E 证明 1 AB AC AD BC 2 AD3 BC BE CF 分析 1 可针对 ABC的面积利用等积法证得 2 在Rt BAC中 有AB AC AD BC AD2 BD DC 在Rt ADB中 有BD2 BE AB 在Rt ADC中 有CD2 CF AC 由这些关系式便可得到待证式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟利用直角三角形的射影定理证明恒等式 1 结合图形 仔细分析题目的结论 2 由于射影定理中可供选择的等式较多 需要合理选择 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2如图 CD垂直平分AB 点E在CD上 DF AC于点F DG BE于点G 求证 AF AC BG BE 证明 CD垂直平分AB ACD和 BED均为直角三角形 且AD DB 又DF AC DG BE AD2 AF AC DB2 BG BE AF AC BG BE 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 利用射影定理解决综合问题 例3 如图 在 ABC中 D F分别在AC BC上 且AB AC AF BC BD DC FC 1 求AC的长 分析 由题意 得 ABC是直角三角形 AF为斜边上的高线 CF是直角边AC在斜边上的射影 AC为所求 已知BD DC 1 即 BDC是等腰三角形 因此 可以过点D作DE BC 由于DE AF均垂直于BC 因此可以利用比例线段的性质 逐步等价转化求得AC的长 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解 在 ABC中 设AC x AB AC AF BC 又FC 1 根据射影定理 得AC2 FC BC 即BC x2 再由射影定理 得AF2 BF FC BC FC FC 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟射影定理的综合应用注意点1 在使用直角三角形的射影定理时 要注意将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练3如图 AD BE是 ABC的两条高 DF AB 垂足为点F 直线FD交BE于点G 交AC的延长线于点H 求证 DF2 GF HF 证明 HF AB BE AC H BAC 90 GBF BAC 90 H GBF AFH GFB 90 AFH GFB AF BF GF HF 在Rt ABD中 FD AB DF2 AF BF DF2 GF HF 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错用射影定理致误 典例 已知CD是Rt ABC的斜边AB上的高 AB 25 AC 20 试确定DB和CD的长 错解 AC CB CD AB 由射影定理 得AD2 AC AB 20 25 500 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 正解 AC CB CD AB 由射影定理 得AC2 AD AB CD2 AD DB 纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实 将射影定理的结论弄错从而导致错误 因此在解决问题时 务必将射影定理的三个结论等式区分清楚 记忆准确 以便在解题中灵活运用 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练在Rt ACB中 C 90 CD AB于点D 若AC CB 1 5 则AD DB 解析 由射影定理 得AC2 AD AB CB2 BD AB 故AC2 CB2 AD AB BD AB AD BD 1 25 答案 1 25 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 一条线段在某条直线上的射影不可能是 A 点B 线段C 直线D 与该线段重合的一条线段解析 线段在任何直线上的射影都不可能是直线 答案 C2 在Rt ABC中 A 90 AD BC于点D 若DC DB 9 则AD A 9B 3C 3D 18解析 由射影定理 得AD2 DC DB 9 解得AD 3 答案 B 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 3 在Rt ACB中 C 90 CD AB于点D 若BD AD 1 4 则tan BCD的值是 解析 答案 C 探究一 探究二 探究三