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高二数学选修2 1 理 1 1 3反证法及其应用 2020 3 3 回顾 交换原命题的条件和结论 所得的命题是 同时否定原命题的条件和结论 所得的命题是 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 所得的命题是 逆命题 否命题 逆否命题 四种命题形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p 则q若q 则p若 p 则 q若 q 则 p 互为逆否命题的两个命题同真假 观察与思考 你能说出其中任意两个命题之间的关系吗 知识要点 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若 p则 q 逆否命题若 q则 p 互为逆否同真同假 互为逆否同真同假 即证明为真命题 关于反证法 反证法 要证明某一结论a是正确的 但不直接证明 而是先去证明a的反面 非a 是错误的 从而断定a是正确的 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论 完成命题的论证的一种数学证明方法 假设原命题结论的反面成立 看能否推出原命题条件的反面成立 尝试成功 得证 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 1 反证法证题时关键在第二步 如何导出矛盾 2 导出矛盾有四种可能 1 与原命题的条件 题设 矛盾 2 与定义 公理 定理等矛盾 3 与结论的反面 反设 成立矛盾 1 难于直接使用已知条件导出结论的命题 2 唯一性命题 3 至多 或 至少 性命题 4 否定性或肯定性命题 3 反证法的使用范围 几点注意 4 在证明过程中 推出自相矛盾的结论 思考探究 还可以用已学过的哪些方法证明 数形结合的数学思想p2 q2 2表示圆心在原点 半径为的圆 表示一个平面区域 只要证明圆上的点在平面区域内即可 假设原命题结论的反面成立 看能否推出原命题条件的反面成立 尝试成功 得证 证明 因为 所以 练习2 用反证法证明 如果a b 0 那么 练习3 练4 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 o中 弦ab cd交于p 且ab cd不是直径 求证 弦ab cd不被p平分 证明 假设弦ab cd被p平分 p点一定不是圆心o 连接op 根据垂径定理的推论 有 o
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