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文档简介

定积分的应用 问题情境 复习引入 1 求曲边梯形的思想方法是什么 2 定积分的几何意义是什么 3 微积分基本定理是什么 例1 求曲线与直线x轴所围成的图形面积 略解 根据定积分的几何意义所求面积为 例题研究 一 利用定积分求平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 特别注意图形面积与定积分不一定相等 变式引申 1 求直线与抛物线所围成的图形面积 略解 设切点坐标为 则切线方程为 切线与x轴的交点坐标为 则由题可知有 所以切点坐标与切线方程分别为 课题 定积分的应用 1 画图 并将图形分割为若干个曲边梯形 2 对每个曲边梯形确定其存在的范围 从而确定积分的上 下限 3 确定被积函数 4 求出各曲边梯形的面积和 即各积分的绝对值的和 小结 求平面图形面积的方法与步骤 型区域 几种常见的曲边梯形面积的计算方法 型区域 当时 则所求图形的面积为 二 定积分在物理中应用 1 求变速直线运动的路程 例题研究 例4 a b两站相距7 2km 一辆电车从a站开往b站 电车开出ts后到达途中c点 这一段的速度为1 2t m s 到c点的速度为24m s 从c点到b点前的d点以等速行驶 从d点开始刹车 经ts后 速度为 24 1 2t m s 在b点恰好停车 试求 1 a c间的距离 2 b d间的距离 3 电车从a站到b站所需的时间 略解 1 设a到c的时间为t1则1 2t 24 t1 20 s 则ac 2 设d到b的时间为t2则24 1 2t2 0 t2 20 s 则db 说明 作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即 2 变力沿直线所做的功 例4 如果1n能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 需做功 a 0 18jb 0 26jc 0 12jd 0 28j 所以做功就是求定积分 a 说明 物体在变力f x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与f x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力f x 所做的功为 解 两曲线的交点 解 两曲线的交点 直线与x轴交点为 4 0 s1 s2 解 两曲线的交点 8 2 解 两曲线的交点 于是所求面积 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 例题研究 三 利用定积分求曲边旋转体的体积 分析 1 分割 2 以直代曲 3 求和 4 逼近 课题 定积分的应用 变式引申 某电厂冷却塔外形如图所示 双曲线的一部分绕其中轴 双曲线的虚轴 旋转所成的曲面 其中a a 是双曲线的顶点 c c 是冷却塔上口直径的两个端点 b b 是下底直径的两个端点 已知aa 14m cc 18m b
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