高二数学 平面的斜线和平面所成的角 ppt.ppt

平面的斜线和平面所成的角 2 从平面外同一点分别作该平面的垂线段和斜线段 1 点在平面上的射影是一个点 斜线在平面上的射影是一条直线 直线在平面上的射影是一个点或一条直线 复习回顾 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 1 理解直线和平面所成的角的定义 2 掌握较简单的线面角的画法 3 掌握并会应用最小角定理 4 掌握求线面角的方法 几何法和向量法 学习目标 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 简称线面角 1 一条直线垂直与平面 它们所成的角是直角 2 一条直线和平面平行 或在平面内 它们所成的角是0 的角 规定 一 平面的斜线和平面所成的角 1 直线与平面所成的角 的取值范围是 2 斜线与平面所成的角 的取值范围是 3 两异面直线所成的角 的取值范围是 思考题 hc与平面abcd所成的角是 bg和ea与平面abcd所成的角分别是 gbc与 eab hcd ec和eg与平面abcd所成的角分别是 ace 练习 正方体abcd efgh中 l是平面 的斜线 a是l上任意一点 ab是平面 的垂线 b是垂足 ob是斜线l的射影 是斜线l与平面 所成的角 与 aod的大小关系如何 思考题 与 aod的大小关系如何 在rt aob中 在rt aoc中 ab ac sin sin aod aod 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角 c 二 最小角定理 证明 设 ao 1则 引例 如图 oa是平面 的斜线 ab 平面 于b oc是 内不与ob重合的任意直线 aob boc aoc 求证 cos cos cos a b o c 变式 例1 解 由最小角定理得 练习 1 ao与平面 斜交 o为斜足 ao与平面 成 角 b是a在 上的射影 od是 内的直线 bod 30 aod 60 则sin 解 由最小角定理得 2 已知斜线段的长是它在平面 上射影的2倍 则斜线和平面 所成的角 3 两条平行直线和一个平面所成的角相等吗 如果两条直线与一个平面所成的角相等 它们平行吗 不一定 如图 斜线段ab是其射影ob的两倍 求ab与平面 所成的角 例2 线段mn长6厘米 m到平面 的距离是1厘米 n到平面 的距离是4厘米 求mn与平面 所成角的余弦值 o mom 就是mn与 所成的角 解 当m n在平面同则时有 om 2 o mom 就是mn与 所成的角 例2 线段mn长6厘米 m到平面 的距离是1厘米 n到平面 的距离是4厘米 求mn与平面 所成角的余弦值 mom 就是mn与 所成的角 解 当m n在平面异则时有 例2 线段mn长6厘米 m到平面 的距离是1厘米 n到平面 的距离是4厘米 求mn与平面 所成角的余弦值 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b和平面a1b1cd所成的角 o b1 定义法 1 2 3 作图 证明 计算 步骤 一作二证三求 关键 确定斜线在平面内的射影 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 1 作图 作 或找 出斜线在平面上的射影 将空间角 斜线和平面所成的角 转化为平面角 两条相交直线所成的锐角 作射影要过斜线上一点作平面的垂线 再过垂足和斜足作直线 2 证明 证明某平面角就是斜线和平面所成的角 3 计算 通常在垂线段 斜线段和射影所组成的直角三角形中计算 设直线ao与平面 所成角为 平面的一个法向量为m 则 直线与平面所成角公式 1 四棱锥p abcd的底面是矩形 pd 平面abcd e为pc的中点 pd da 2 dc 4 1 求pb与平面abcd所成的角 2 求pb与平面bde所成的角 2 三棱锥p abc中 pc 平面abc acb 90 pc bc 2 ac 1 1 求pc与平面pab所成的角 2 e f分别是线段ab bc的中点 求ab与平面pef所成的角 练习 课堂小结 1 直线在平面上的射影 2 射影定理 3 直线与平面所成的角 求角的过程 角的范围