高二数学选修22 导数在实际生活中的应用选修二.ppt

导数在实际生活中的应用 主讲 罗青盛 导数在实际生活中有着广泛的应用 例如 用料最省 利润最大 效率最高等问题 常常可以归纳为函数的最值问题 从而可用导数来解决 例1 例2 例3 例4 习题1 习题2 习题3 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底铁皮箱 当箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 60cm x 解 设箱底边长为x cm 则箱高为 箱子的容积为 由 解得 舍去 且当 时 当 时 这个极大值就是函数v x 的最大值 所以函数v x 在x 40处 答 当箱子底边长等于40cm时 箱子容积最大 最大值为16000 取得极大值 例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定 如何确定它的高与底半径 才能使它的用料最省 h r 解 如图 设圆柱的高为h 底 半径为r 则表面积 又 即h 2r 因为s r 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐高与罐底的直径相等时 用料最省 例3 在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为e 当外电阻r多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 解 可以检验 当r r时 p取得极大值 且是最大值 最大值为 答 略 例4 强度分别为a b的两个光源a b的距离为d 试问 在连接两光源的线段ab上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 a p b x 3 x 解 如图 设点p在线段ab上 且p距光源a为x 则p距光源b 为3 x 0 x 3 p点受a光源的照度为 其中 k为比例常数 解得x 2 故当0 x 2时 因此 x 2时 i取得极小值 且是最小值 答 在连结两光源的线段ab上 距光源a为2处的照度最小 解 设矩形的长为xcm 则宽为 30 x cm 则矩形面积 习题1 把长为60cm的铁丝围成矩形 长 宽各为多少 时矩形的面积最大 s x 30 x 30 x x2 0 x 30 故x 15时 s x 取得最大值s 15 225 答 长为15cm 宽为15cm时面积最大 x 60 2x 2 结论 周长为定值的矩形中 正方形的面积最大 习题2 把长100cm的铁丝分成两段 各围成正方形 怎样分法 能使两个正方形面积之和最小 解 设其中一个正方形的边长为xcm 则另一个正方形的边长为 25 x cm 这两个正方形面积之和为 s x x2 25 x 2 2x2 50 x 625 0 x 25 所以 当x 12 5时 函数s x 取得最小值312 5平方厘米 此时 两个正方形的边长相等 答 当一段为4x 50cm时 面积之和最小 此时另一段也为50cm 习题3 求证 同一个圆的内接矩形中 正方形的面积最大 r x o 法一 设圆半径为r 常数 此矩形的一边长为2x 则另一边长为 则此矩形面积为 此时另一边长也为 故此矩形为正方形 其面积 法二 设 a b c 则 不等式当且仅当时取等号 此时矩形为正方形 当且仅当 法三 上式取等号 此时矩形是正方形 a b c r x 提示 设圆的半径为r 常数 等腰三角形的底的边心距为x 则高为r x 底边长为 等腰三角形的面积为 r 负值舍去 此时可求得ab ac bc 例4 求证 同一个圆的内接三角形中 等边三角形面积最大 5 做一个容积为256升的方底无盖水箱 它的高为多少时最省材料 a x 解设水箱的高为xdm 则它的底边长为a dm 水箱所用的材料的面积为 因为s x 只有一个极值 故高为4dm时最省料 升立方分米 解 设圆铁皮半径为r 扇形的圆心角为弧度 则圆锥底半径为 r 圆锥的高为 圆锥形容器的容积为 因过小或过大都会使v变小 故时 容器的容积最大 r r h 6 用铁皮剪一个扇形 制成一个圆锥形容器 扇形的圆心角多大时容积最大 7 已知海岛a与海岸公路bc的距离ab为50km b c间的距离为100km 从a到c 先乘船 船速为25km h 再乘车 车速为50km h 登陆点选在何处所用时间最少 a b c d 解 设登陆点选在d处 使bd xkm 则乘船距离为 乘车距离为 100 x km 所用时间 舍去负值 因为当x时 t 0 故当登陆点选在距离bkm处时所用时间最少 补充练习1 1 求内接于半径为r球的并且体积最大的圆柱的高 2 求内接于半径为r球的并且体积最大的圆锥的高2 一面靠墙三面用栏杆 围成一个矩形场地 如果栏杆长40cm 要使围成的场地面积最大 靠墙的边应该多长 3 一窗户的上部是半圆 下部是矩形 如果窗户的面积一定 当半圆半径与矩形的高的