高中数学第一章1.1任意角和蝗制1.1.1任意角知识巧解学案.docx

1.1.1 任意角疱工巧解牛知识巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角的始边、终边.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角.旋转一周角的大小记为360，如图1-1-1.图1-1-12.由于图1-1-1(1)中的、分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以=45，=-315；图1-1-1(2)中的=30，=390，=-60.显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1-1-2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90到射线OB的位置，接着再旋转-30到OC的位置，则AOC=AOB+BOC=90+(-30)=60.学法一得 引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化-为+(-)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和.3.在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向，旋转的周数及角的绝对值的大小，旋转生成的角，又常称为转角.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1.若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外)在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1-1-3例如：由于图1-1-3甲中的角45、405、-315都是始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理图1-1-3乙中的角480是第二象限的角，-70、290都是第四象限的角.2.表示各个象限角时，可以先在0360范围内确定角的界限，然后再加上360的整数倍，如第一象限角，在0360范围内，第一象限角表示为090，然后在两端加上k360,kZ，即可得到第一象限角的集合：|k360+90k360+90,kZ，其他各象限角同理可得.3.特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如0、90、-180、630等，这些角都不属于任何一个象限，我们称之为非象限角，也叫象限界角.与象限角的确定方法相同,终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|=k360,kZ.同理可得其他非象限角的集合.深化升华 角以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角，象限角及非象限角都是相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合这一前提下，才能讨论象限角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化，还能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象.三、与角终边相同的角1.设S=|=45+k360,kZ，显然，所有与45角终边相同的角都是集合S的元素；反过来，集合S中的任何一个元素也都与45角的终边相同.把角推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=+k360,kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角和的形式.辨析比较 对于这个概念的理解要把握以下三点：kZ；是任意角；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.2.终边相同的角的用途：利用与角终边相同的角的集合，可把任一角转化成=+k360,kZ,0,360)的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角的集合.典题热题知识点一 各角和的旋转量等于各角旋转量的和例1 射线OA绕端点O逆时针方向旋转150到OB位置，接着再按顺时针方向旋转60到OC位置，然后再逆时针方向旋转90到OD位置，求AOD的大小.思路分析：我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，逆时针方向旋转150即+150，顺时针方向旋转60即-60，再逆时针方向旋转90即再+90，由此可得结论.图1-1-4解：如图1-1-4，由题意知AOB=150,BOC=-60,COD=90,所以AOD=AOB+BOC+COD=150-60+90=180.方法归纳 在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.知识点二 终边相同的角例2 如图1-1-5，写出终边落在直线y=上的角的集合.(用0到360的角表示)图1-1-5思路分析：先在0到360之间找到两个角，使得其终边分别与射线y=(x0)、y=(x0)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集.解：终边落在y=(x0)上的角的集合是S1=|=60+k360,kZ；终边落在y=(x0)上的角的集合是S2=|=240+k360,kZ.于是，终边落在y=上的角的集合是S=S1S2=|=60+k360,kZ|=240+k360,kZ=|=60+2k180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ=|=60+180的偶数倍|=60+180的奇数倍=|=60+180的整数倍=|=60+n180,nZ.图1-1-6巧妙变式：如图1-1-6，若角的终边落在y= (x0)与y=(x0)所夹的小区域内，求角的集合.思路点拨：应先写出终边落在y=(x0)与y=(x0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角的集合是|30+k360150+k360,kZ.方法归纳 若过原点的直线l的倾斜角为，则终边落在直线l上的角的集合是|=+k180,kZ.当k取偶数时，表示终边落在直线l所在的上半平面部分；当k取奇数时，表示终边落在直线l所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区间的两条边界终边相同的角的集合.知识点三 象限角的集合例3 试写出第二象限角的集合.思路分析：表示各个象限角时，可以先在0360范围内确定角的界限，然后再加上360的整数倍.解：由于第二象限角位于y轴的非负半轴、x轴的非正半轴之间，而终边落在y轴的非负半轴、x轴的非正半轴上的角分别是|=90+k360,kZ与|=k360+180,kZ，所以第二象限角的集合为|k360+90k360+180,kZ.学法一得 象限角的表示形式并不唯一，还可以有其他的表示形式，如本题的第二象限角的集合，也可以表达为|k360-180k360-270,kZ.知识点四 各种角的关系例4 判断下列命题是否正确，并说明理由.小于90的角是锐角；第一象限的角小于第二象限的角；终边相同的角一定相等；相等的角终边一定相同；若90,180，则是第二象限角.思路分析：利用各种角的定义进行判断.解：锐角集合是|090，即(0,90)，它是小于90的正角，而小于90的角还可以是负角和零角，显然是错误的；由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0360间的(0,90)与(90,180)，像390是第一象限角，120是第二象限角，显然390120，所以也是错误的；终边相同的角可能彼此相差360的整数倍，显然是错误的；由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然是正确的；由于90、180都不是象限角，显然是错误的.辨析比较 第一象限角、小于90的角、090的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90的角应当包括锐角、零角及负角，在下一节学习了弧度制后，角变为实数，其大小关系更加明显.知识点五 已知角终边所在的象限，求 (nN,n1)所在的象限例5 是第一象限的角，是第几象限角？解：是第一象限角，则可以表示为k360k360+90,kZ，于是可得的范围是k180k180+45,kZ. 当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角. 当是第一象限角时，位于第一或第三象限.知识点六 终边不相同的角和区间角例6 在角的集合|=k90+45,kZ中,(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(-360，360)内的角？思路分析：本题主要考查对=k90+45(kZ)所表示的角的认识，从代数角度看，取k=，-2，-1，0，1，2，可以得为，-135，-45，45，135，225，从图形角度看=k90+45(kZ)，即以角45为基础，依次加上90的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90，所得各角如图1-1-7所示.图1-1-7解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由-360k90+45360得k，又kZ，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中属于区间(-360，360)的角共有8个.方法归纳 把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学学习中，数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应用.问题探究误区陷阱探究问题 “第一象限角和小于90的角都是锐角.”这句话是否正确？探究过程：角的概念推广以后，小于90的角由锐角、零角和负角组成，而第一象限的角包含了锐角和其他终边在第一象限的角.之所以出现这样的错误，是对任意角的概念理解不够透彻，认为角的范围是0360.探究结论：这句话不正确.由于第一象限的角包含了大于90和小于0的角，而小于90的角可能是锐角、零角或负角，故它们不一定是锐角.思想方法探究问题 已知角的终边位置，如何判断的终边位置？例如，为第一象限角，探求所在的象限.探究过程：因为为第一象限角，即2k2k+,kZ，则+,kZ.当k=3n(nZ)，为第一象限角；当k=3n+1(nZ)，为第二象限角；当k=3n+2(nZ)，为第三象限角.所以为第一、第二、第三象限角.此外，对于确定的终边位置，还有一种方法八卦图法.图1-1-8第一步：画出直角坐标系.如图1-1-8，将每一象限三等分.第二步：标号.从x轴非负半轴开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4.第三步：选号.因为为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示.第四步：定象限