2017_18学年高中数学第三章3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案含解析.docx

31.3二倍角的正弦、余弦、正切公式提出问题问题1：在公式C()，S()和T()中，若，公式还成立吗？提示：成立问题2：在上述公式中，若，你能得到什么结论？提示：cos 2cos2sin2，sin 22sin cos ，tan 2.导入新知二倍角公式化解疑难细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6是3的2倍，3是的2倍这里蕴含着换元思想这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用化简求值例1求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)；(5)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(4)原式4.(5)原式.类题通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异活学活用化简：(1)；(2).答案：(1)tan 2(2)1条件求值例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知，且sin 2sin，求.解(1)，0，.sin.cos 2sin22sincos2，sin 2cos12cos2122.coscos 2sin 2.(2)sin 2cos，sinsincoscos，原方程可化为12cos2cos，解得cos1或cos.，故0或，即或.类题通法解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系活学活用1已知sinsin，求sin 4的值答案：2已知sin22sin 2cos cos 21，求锐角.答案：倍角公式的综合应用例3已知向量a(sin A，cos A)，b(，1)，ab1，且A为锐角(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)cos 2x4cos Asin x(xR)的值域解(1)由题意得absin Acos A1，2sin1，sin.由A为锐角得A，所以A.(2)由(1)知cos A，所以f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x22.因为xR，所以sin x1,1，因此，当sin x时，f(x)有最大值.当sin x1时，f(x)有最小值3.所以所求函数f(x)的值域是.类题通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2sin2cos 2，tan 2.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式主要形式有：1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2，cos2，sin2.活学活用(福建高考节选)已知函数f(x)10sincos10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式答案：(1)2(2)g(x)10sin x8典例已知cos，求的值解原式2sin xcos xsin 2x.或原式sin 2x.2x2，sin 2xsincos 2.cos，cos 22cos2121，原式.多维探究1解决上面典例要注意角“2x”与“x”的变换方法，即sin 2xcoscos；常见的此类变换，还有：(1)sin 2xcoscos；(2)cos 2xsinsin；(3)cos 2xsinsin.2倍角公式中的“倍角”是相对的对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8是4的二倍角，3是 的二倍角等在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现活学活用1若sin，则cos_.答案：2计算：coscoscos_.答案：3计算：sin 10sin 30sin 50sin 70_.答案：4求值：.答案：随堂即时演练1下列各式中，值为的是()A2sin 15cos 15Bcos215sin215C2sin215 Dsin215cos215答案：B2化简()A2cos 50 B2cos 50C2sin 50 D2sin 50答案：B3已知，sin ，则tan 2_.答案：4函数f(x)2cos21的最小正周期为_答案：5已知为第二象限角，且sin ，求的值答案：课时达标检测一、选择题1若sin，则cos 2x的值为()AB.C D.答案：A2若，则tan 2()A B.C D.答案：B3设3，化简 的结果是()Asin BcosCcos Dsin答案：C4若，且sin2cos 2，则tan 的值等于()A. B.C. D.答案：D5若，sin 2，则sin ()A. B.C. D.答案：D二、填空题6函数f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_答案：17已知，sin ，则tan 2_.答案：78等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为_答案：三、解答题9已知为锐角，且tan2.(1)求tan 的值；(2)求的值解：(1)tan，所以2,1tan 22tan ，所以tan .(2)sin .因为tan ，所以cos 3sin ，又sin2cos21，所以sin2，又为锐角，所以sin ，所以.10已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解：f(x)2sin xcos x2cos2x1(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，sin.又x0，2x0.cos .cos 2x0coscoscossinsin.11设函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x.(1)求f；(2)若f()5，求角