高考数学二轮复习专题八第2讲分类讨论思想转化与化归思想案文.docx

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】(1)若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_；(2)在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_.解析(1)若a1，有a24，a1m，解得a2，m.此时g(x)为减函数，不合题意.若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意.(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立.当q1时，由a3，S3，由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).当q时，a16，综上可知，a1或a16.答案(1)(2)或6探究提高1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0a1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.【训练1】(1)(2017长沙一中质检)已知Sn为数列an的前n项和且Sn2an2，则S5S4的值为()A.8 B.10 C.16 D.32(2)函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能取值的集合是_.解析(1)当n1时，a1S12a12，解得a12.因为Sn2an2，当n2时，Sn12an12，两式相减得，an2an2an1，即an2an1，则数列an为首项为2，公比为2的等比数列，则S5S4a52532.(2)f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ).所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2，因为1a|PF2|，则的值为_.解析若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上知，或2.答案或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)xaex(aR，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)e2x对xR恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)1aex，当a0时，f(x)0，函数f(x)是(，)上的单调递增函数；当a0时，由f(x)0得xln a，所以函数f(x)在(，ln a)上的单调递增，在(ln a，)上的单调递减.(2)f(x)e2xaex，设g(x)ex，则g(x).当x0，g(x)0，g(x)在(，0)上单调递增.当x0时，1e2x0，g(x)0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A.2a B. C.4a D.(2)(2017浙江卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.解析(1)抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，4a.(2)由题意，不妨设b(2，0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).令y|ab|ab|，令y，则y210216，20.由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案(1)C(2)42探究提高1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.解析令abc，则ABC为等边三角形，且cos Acos C，代入所求式子，得.答案应用2函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f(x)3e|x|，若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，试求m的最大值.解当t1，)且x1，m时，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm).h(x)10，函数h(x)在1，)上为减函数，又x1，m，h(x)minh(m)1ln mm.要使得对任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.h(3)ln 32lnln1，h(4)ln 43ln4xp3恒成立，则x的取值范围是_.解析(1)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，即m43x.当x(t，3)时恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x，当x(t，3)时恒成立，则m49，即m.使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为m3或x1.答案(2)(，1)(3，)探究提高1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x的函数转化为在0，4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数.对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_.解析由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，即解得x1.故当x时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0.答案1.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论，函数yax2bxc有时候分a0和a0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由Sn求an分n1和n1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0