研究生入学考试第七章 留数定理及其应用ppt模版课件

第七章留数定理及其应用 数学物理方法 7 1留数定理 单值函数f z 在孤立奇点bk邻域内的洛朗展开中的项的系数称为f z 在bk处的留数 记作 或 留数 定义 设光滑的简单闭合曲线C是区域G的边界 若除了有限个孤立奇点bk k 1 2 n 外 函数f z 在G内单值解析 在上连续 且C上没有奇点 则 留数定理 如图 围绕每个奇点bk作闭合曲线gk 使gk均在G内 且互不交叠 由复连通区域的柯西定理知 将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数 复连通区域的柯西定理 洛朗展开系数公式 因为 且C内含有z a 可知 留数定理 设z b是f z 的m阶极点 则在b点的邻域内 留数的求法 全为正幂项 求导 m 1 后 低于 m 1 次的幂项没有了 高于 m 1 次的幂项在 只剩了 两边同乘以 z b m得 常见情况 P z Q z 在b点及其邻域内解析 z b是Q z 的一阶零点 Q b 0 Q b 0 P b 0 则 若z b是一阶极点 则 小结 求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开 求展开系数a 1 求积分 对m阶极点求导数 对一阶极点 求极限 对一阶极点 有 求在奇点处的留数 是它的一阶极点 方法一 直接在z 0作展开 求在奇点处的留数 方法二 是一阶奇点 所以是的三阶极点 的倒数的零点 求在奇点处的留数 为一阶极点 为二阶极点 先分析奇点的类型 求在奇点处的留数 可将在展开 为在复平面内的唯一孤立奇点 不确定 为本性奇点 求在孤立奇点的留数 只关心负一次幂系数 因此 显然 A B C正好是f z 在一阶极点z 1 z 2 z 3的留数 所以 对有理函数部分分式 所以 为的一阶极点 为本性奇点 求在奇点的留数 2 在C 内只有 可能是f z 的奇点 作变换则 对于无穷远点 定义C 为绕无穷远点正向一周的围道 1 在C 内有奇点 bk 则 补充讨论 在t 0点邻域内幂级数展开中t 1项的系数 在t 0点邻域内幂级数展开中t1项的系数 在z 点邻域内幂级数展开中z 1项的系数 此结果与有限远处奇点的留数不同之处为 1 形式上多了一个负号 2 z 1是f z 在 点展开的正则部分 绝对收敛的负幂项 即使 点不是奇点 resf 也可以不为0 反之 即使 点是奇点 甚至为一阶极点 resf 也可以为0 留数的计算在积分计算中常用到 下面重点学习积分计算中留数定理的运用 涉及定积分和常见类型积分的计算 R在上连续 保证了R z 在上无奇点 7 2有理三角函数的积分 计算方法 R为和的有理函数 在上连续 作变换 即 则 计算积分 有一阶极点 只有在内 设 则 计算积分 被积函数为偶函数 令 则 在内 函数f z 只有一个一阶极点 中的被积函数为奇函数 可见z 0是被积函数在内的唯一奇点 是2n 1阶极点 若求2n阶导数则很复杂 故将f z 在中展开 计算积分 令 由二项式定理知 当k n时 为项 的奇点均为一阶极点 只有在内 计算积分 令 计算积分 令 有一阶极点只有在内 在上半平面补上以圆点为圆心R为半径的弧CR 则 R R CR形成闭合围道 应用留数定理计算闭合围道积分后令R 0 7 3无穷积分 将实变函数f x 延拓为f z 补上适当的积分路径 形成闭合围道 计算方法 计算积分 在上半平面只有一个二阶极点 因为 由引理二 第三章 知 所以 可见 无穷积分的被积函数f z 必须满足 1 在上半平面除有限个孤立奇点外 处处解析 实轴上无奇点 2 在内 当时 一致的趋于0 即 使当时 计算定积分 在围道内只有一个一阶奇点 作围道 引理二 所以 即 在上半平面内有两个一阶极点和 计算积分 只要知道 那么分别比较实部和虚部即可 7 4含三角函数的无穷积分 当时 和行为复杂 故取被积函数为 计算方法 或 设 当时 Q z 一致的趋近于0 则 约当定理 其中p 0 CR是以原点为圆心 以R为半径的半圆弧 时 可见 由复变积分性质知 当f x 为偶函数时 f x cospx为偶函数 f x sinpx为奇函数 bk在C内 约当引理保证了 当f x 为奇函数时 f x cospx为奇函数 f x sinpx为偶函数 为偶函数 计算积分 在上半平面内有一阶极点和 由约当引理知 非奇非偶 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 所以 为奇函数 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 方法一 所以 即 为奇函数 方法二 所以 主值积分解析函数f x 在有界区域内某点x0无界 称为f x 在 a b 上的主值积分 7 5实轴上有奇点的情形 围道作法同上 只是积分围道绕过实轴上的奇点 围道多了一段以实轴上的奇点为圆心 d为半径的半圆弧 计算方法 定义 计算主值积分 由引理二知 大弧上的积分为零 又由引理一知 小弧上的积分值 因此 即 计算积分 围道C内解析 故积分值为零 由约当引理知 大弧积分为零 当时 又由引理一知 小弧上的积分值 可知 即 所以 计算积分 围道C内解析 故围道积分值为零 在实轴上有二阶极点z 0 作如图围道 又由约当引理知 大弧积分为零 当时 由引理一知 小弧上的积分值 即 计算积分 在实轴上有三阶极点z 0 由约当引理知 大弧积分为零 当时 对于I1作围道C 如下图 故 故 对于I2作围道C 如下图 弧积分在下半平面 以保证能满足约当引理中的 由约当引理知 大弧积分为零 当时 由以上分析可知 类似地可以求出 计算这类积分的关键 选择正确的复变积分的被积函数 相应的复变积分为 z 0和 是被积函数的极点 沿正实轴作割线 并规定割线上岸 积分路径如上图 7 6多值函数的积分 计算方法 s为实数 Q x 单值 在正实轴上没有奇点 计算积分 如图沿正实轴作割线 并规定割线上岸 围道内仅有一个一阶极点 当时 由此可推知一些积分 如时 下一章学习G函数时会直接用到这个结果 实虚部分开 比较虚部可知 计算积分 如图沿正实轴作割线 并规定割线上岸 围道内仅有两个一阶极点 由引理一知 小弧上的积分为零 当时 由引理二知 大弧上的积分为零 由以上计算可知 的定积分可通过计算得到 而的计算则要通过计算得到 可得 没有得到是因为的多值性表现在虚部上 实部互相抵消 因为此时在割线上下岸的函数值与相互抵消 剩下项正是所需 右边 左边 所以