2018高考一轮复习-不等式和均值不等式.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除2017高考一轮复习 不等式和均值不等式一选择题（共14小题）1（2010上海）（上海春卷16）已知a1，a2（0，1），记M=a1a2，N=a1+a21，则M与N的大小关系是（）AMNBMNCM=ND不确定2（2016春乐清市校级月考）设a，b是实数，则“ab1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（2013天津）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（2012湖南）设 ab1，C0，给出下列三个结论：；acbc；logb（ac）loga（bc）其中所有的正确结论的序号（）ABCD5（2014山东）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D6（2013陕西）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）Ax=xB2x=2xCx+yx+yDxyxy7（2013秋丰城市校级期末）下列函数中最小值为4的是（）Ay=x+By=Cy=ex+4exDy=sinx+，（0x）8（2013山东）设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D9若实数a，b满足ab4ab+1=0（a1），则（a+1）（b+2）的最小值为（）A24B25C27D3010（2006秋增城市期末）已知0x1，则x（33x）取得最大值时时x的值为（）ABCD11（2014秋周口期末）设x，yR，a1，b1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（）A2B3C4Dlog2312（2012河南一模）函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线+4=0（m0，n0）上，则m+n的最小值为（）A2+B2C1D413（2015陕西）设f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=rq14（2014湖北校级模拟）某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（ABAD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B位置，AB交DC于P研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A22B32C2D2二填空题（共5小题）15（2013安徽）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当0CQ时，S为四边形当CQ=时，S为等腰梯形当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=当CQ1时，S为六边形当CQ=1时，S的面积为16（2015秋中山市校级期中）已知x3，则+x的最小值为17已知x1，则函数y=的最小值是18（2014荆州一模）已知x0，y0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是19若a，b，x，yR，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为三解答题（共7小题）20（2009广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2（1）求证：BC平面A1AC；（2）求三棱锥A1ABC的体积的最大值21设a0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小22设f（x）是不含常数项的二次函数，且1f（1）2.2f（1）4求f（2）的取值范围23已知，满足，试求+3的取值范围24（2013秋商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca25（2015丹东二模）已知a，b为正实数，（1）若a+b=2，求的最小值；（2）求证：a2b2+a2+b2ab（a+b+1）26（2016春和平区期末）已知x0，y0，且2x+8yxy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值2017高考一轮复习 不等式和均值不等式参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2010上海）（上海春卷16）已知a1，a2（0，1），记M=a1a2，N=a1+a21，则M与N的大小关系是（）AMNBMNCM=ND不确定【分析】根据题意，利用作差法进行求解【解答】解：由MN=a1a2a1a2+1=（a11）（a21）0，故MN，故选B【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题2（2016春乐清市校级月考）设a，b是实数，则“ab1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】画出f（x）=x+图象，根据函数的单调性，结合充分那样条件的定义可判断【解答】解：f（a）=a+，f（b）=b+，f（x）=x+图象如下图根据函数的单调性可判断：若“ab1”则“”成立，反之若“”则“ab1”不一定成立根据充分必要条件的定义可判断：“ab1”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了对钩函数的单调性，必要充分条件的定义可判断，属于中档题3（2013天津）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】通过举反例可得“ab”不能推出“（ab）a20”，由“（ab）a20”能推出“ab”，从而得出结论【解答】解：由“ab”如果a=0，则（ab）a2=0，不能推出“（ab）a20”，故必要性不成立由“（ab）a202”可得a20，所以ab，故充分性成立综上可得“（ab）a20”是ab的充分也不必要条件，故选A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题4（2012湖南）设 ab1，C0，给出下列三个结论：；acbc；logb（ac）loga（bc）其中所有的正确结论的序号（）ABCD【分析】利用作差比较法可判定的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定的真假，利用对数函数的性质可知的真假【解答】解：=，ab1，c0=0，故正确；考查幂函数y=xc，c0y=xc在（0，+）上是减函数，而ab0，则acbc正确；当ab1时，有logb（ac）logb（bc）loga（bc）；正确故选D【点评】本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题5（2014山东）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A当xy时，x3y3，恒成立，B当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立C若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立D若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键6（2013陕西）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）Ax=xB2x=2xCx+yx+yDxyxy【分析】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解x的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用【解答】解：对A，设x=1.8，则x=1，x=2，所以A选项为假对B，设x=1.4，2x=2.8=3，2x=4，所以B选项为假对C，设x=y=1.8，对A，x+y=3.6=3，x+y=2，所以C选项为假故D选项为真故选D【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大7（2013秋丰城市校级期末）下列函数中最小值为4的是（）Ay=x+By=Cy=ex+4exDy=sinx+，（0x）【分析】A当x0时，利用基本不等式的性质，y=4，可知无最小值；B变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于4；C利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；D利用基本不等式的性质可知：最小值大于4【解答】解：A当x0时，=4，当且仅当x=2时取等号因此此时A无最小值；B.=4，当且仅当x2+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y4，因此B的最小值不是4；C.=4，当且仅当，解得ex=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D当0x时，sinx0，=4，当且仅当，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y4，因此不满足条件综上可知：只有C满足条件故选C【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“=”是否取到8（2013山东）设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D【分析】将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2yz的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz的最大值为2故选：C【点评】本题考查基本不等式，将z=x23xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题9若实数a，b满足ab4ab+1=0（a1），则（a+1）（b+2）的最小值为（）A24B25C27D30【分析】先根据ab4ab+1=0求得a和b的关系式，进而代入到（a+1）（b+2）利用均值不等式求得答案【解答】解：ab4ab+10b=4+，（a+1）（b+2）=6a+6=6a+9=6（a1）+1527（当且仅当a1=即a=2时等号成立），即（a+1）（b+2）的最小值为27故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题的关键是配出均值不等式的形式10（2006秋增城市期末）已知0x1，则x（33x）取得最大值时时x的值为（）ABCD【分析】法一：设y=x（33x）=3，利用二次函数的性质可求函数的最大值法二：由0x1可得1x0，从而利用基本不等式可求x（33x）=3x（1x）的最大值及取得最大值的x【解答】解：法一：设y=x（33x）则y=3（x2x）=30x1当x=时，函数取得最大值故选C法二：0x11x0x（33x）=3x（1x）当且仅当x=1x即x=时取得最大值故选C【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，一般的处理方法是对二次函数进行配方，结合函数在区间上的单调性判断取得最值的条件11（2014秋周口期末）设x，yR，a1，b1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（）A2B3C4Dlog23【分析】由ax=by=2，求出x，y，进而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值【解答】解：ax=by=2，x=loga2，y=logb2，=log2a+log2b=log2ab，2a+b=8，ab8（当且仅当2a=b时，取等号），log28=3，即的最大值为3故选B【点评】本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示是关键12（2012河南一模）函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线+4=0（m0，n0）上，则m+n的最小值为（）A2+B2C1D4【分析】利用对数的性质可得：函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线+4=0（m0，n0）上，可得再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：当x=1时，y=loga1+1=1，函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线+4=0（m0，n0）上，m+n=1，当且仅当m=n=时取等号故选：C【点评】本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题13（2015陕西）设f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=rq【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）ln（）=p，r=（f（a）+f（b）=（lna+lnb），p=rq，故选：B【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题14（2014湖北校级模拟）某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（ABAD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B位置，AB交DC于P研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A22B32C2D2【分析】利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得y=2（1），1x2，表示出ADP的面积，利用基本不等式，可求最值【解答】解：设AB=x，DP=y，BC=2x，PC=xyx2x，1x2，ADPCBP，PA=PC=xy由PA2=AD2+DP2，得（xy）2=（2x）2+y2y=2（1），1x2，记ADP的面积为S，则S=（1）（2x）=3（x+）32，当且仅当x=（1，2）时，S取得最大值故选：B【点评】本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查二填空题（共5小题）15（2013安徽）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当0CQ时，S为四边形当CQ=时，S为等腰梯形当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=当CQ1时，S为六边形当CQ=1时，S的面积为【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQAD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故正确；由上图当点Q向C移动时，满足0CQ，只需在DD1上取点M满足AMPQ，即可得截面为四边形APQM，故正确；当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；由可知当CQ1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1PF=，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题16（2015秋中山市校级期中）已知x3，则+x的最小值为7【分析】本题可以通过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案【解答】解：x3，x30+x=当且仅当x=5时取最值故答案为：7【点评】本题考查了基本不等式，注意不等式使用的条件本题难度适中，属于中档题17已知x1，则函数y=的最小值是8【分析】利用换元法化简函数，根据基本不等式求出函数y=的最小值【解答】解：x1，t=x10，y=t+22+2=8，当且仅当t=，即t=3，x=4时，取等号，函数y=的最小值是8故答案为：8【点评】本题考查求函数y=的最小值，考查基本不等式的运用，正确变形是关键18（2014荆州一模）已知x0，y0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是【分析】根据基本不等式求出xy8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可【解答】解：x0，y0，且x+2y=xy，x+2y=xy，平方得（xy）28xy，解得xy8，log4（x+2y）=log4（xy），故答案为：【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力19若a，b，x，yR，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为【分析】根据柯西不等式（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），得到（ax+by）2（a2+b2）（x2+y2），进而求得ax+by的最大值【解答】解：根据柯西不等式（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），（ax+by）2（a2+b2）（x2+y2）=31=3，当且仅当ay=bx时取等号，所以，ax+by，因此，ax+by的最大值为，故填：【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的关键是利用了柯西不等式，属于基础题三解答题（共7小题）20（2009广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2（1）求证：BC平面A1AC；（2）求三棱锥A1ABC的体积的最大值【分析】（1）欲证BC平面AA1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面AA1C内两相交直线垂直，而BCAC，AA1BC，AA1AC=A满足定理条件；（2）设AC=x，在RtABC中，求出BC，根据体积公式VA1ABC=SABCAA1表示成关于x的函数，根据二次函数求出其最大值【解答】解：（1）证明：C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，BCACAA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BCAA1AC=A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C（2）设AC=x，在RtABC中，BC=（0x2），故VA1ABC=SABCAA1=ACBCAA1=x（0x2），即VA1ABC=x=0x2，0x24，当x2=2，即x=时，三棱锥A1ABC的体积最大，其最大值为【点评】本小题主要考查直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力21设a0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小【分析】由题意可得=aabbba=，当ab0时，可得 aabbabba当 ba0时，同理可得aabbabba综上可得aabb与abba 的大小关系【解答】解：a0，b0，且ab，而且=aabbba=，当ab0时，由1，ab0，可得1，aabbabba当 ba0时，由01，ab0，可得1，aabbabba综上可得，aabbabba【点评】本题主要考查用作商比较法比较两个正实数的大小关系，不等式性质的应用，属于基础题22设f（x）是不含常数项的二次函数，且1f（1）2.2f（1）4求f（2）的取值范围【分析】设f（x）=ax2bx，由题意推出，确定目标函数f（2）=4a2b经过可行域的特殊点，然后求出f（2）的范围即可【解答】解：设f（x）=ax2bx，由题意可知，目标函数f（2）=4a2b作出可行域如图，所以经过M（3，1），N（，）分别为目标函数f（2）=4a2b的取值范围，f（2）7，14【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，注意特殊点的选择，属于基础题23已知，满足，试求+3的取值范围【分析】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决【解答】解设+3=（+）+v（+2）=（+v）+（+2v）比较、的系数，得，从而解出=1，v=2分别由、得11，22+46，两式相加，得1+37故+3的取值范围是1，7【点评】用待定系数法，利用不等式的性质解决，是基础题24（2013秋商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c