2021版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线中的范围、最值问题教学案 苏教版.doc

第九节圆锥曲线中的范围、最值问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想；3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题考点1范围问题求参数范围的4种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解 (2019山师附中模拟)已知椭圆c：1，直线l：ykxm(m0)，设直线l与椭圆c交于a，b两点(1)若|m|，求实数k的取值范围；(2)若直线oa，ab，ob的斜率成等比数列(其中o为坐标原点)，求oab的面积的取值范围解(1)联立方程1和ykxm，得(23k2)x26kmx3m260，所以(6km)24(23k2)(3m26)0，所以m23，即k2，解得k或kb0)过点，且椭圆c关于直线xc对称的图形过坐标原点(1)求椭圆c的方程；(2)过点作直线l与椭圆c交于e，f两点，线段ef的中点为m，点a是椭圆c的右顶点，求直线ma的斜率k的取值范围解(1)椭圆c过点，1，椭圆c关于直线xc对称的图形过坐标原点，a2c，a2b2c2，b2a2，由得a24，b23，椭圆c的方程为1.(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为xmy.由方程组消去x，并整理得4(3m24)y212my450.设e(x1，y1)，f(x2，y2)，m(x0，y0)y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0当m0时，k，当m0时，4m8，0.0k，当m0时，4m8，k0.k且k0.综合、可知，直线ma的斜率k的取值范围是.1.如图，已知点p是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线c：y24x上存在不同的两点a，b满足pa，pb的中点均在c上(1)设ab中点为m，证明：pm垂直于y轴；(2)若p是半椭圆x21(x0)上的动点，求pab面积的取值范围解(1)证明：设p(x0，y0)，a，b.因为pa，pb的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以pm垂直于y轴(2)由(1)可知所以|pm|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以pab的面积spab|pm|y1y2|.因为x1(1x00)，所以y4x04x4x044,5，所以pab面积的取值范围是.2(2019无锡期末)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且过点，点p在第四象限，a为左顶点，b为上顶点，pa交y轴于点c，pb交x轴于点d.(1)求椭圆c的标准方程；(2)求pcd面积的最大值解(1)由题意得得a24，b21，故椭圆c的标准方程为y21.(2)由(1)可得a(2,0)，则可设直线ap的方程为yk(x2)，其中k0，所以c(0,2k)由消去y得(14k2)x216k2x16k240，解得x，所以xaxp，由xa2得xp，故ypk(xp2)，所以p，设d(x0,0)，因为b(0,1)，p，b，d三点共线，所以kbdkpb，故，解得x0，得d，spcdspadscadad|ypyc|.因为k0，所以spcd22，令t12k，则1t2，所以2k1t，所以spcd22221，当且仅当t时取等号，此时k，所以pcd面积的最大值为1.考点2最值问题圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围利用基本不等式求最值已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，点b在椭圆c上，且oaob，求线段ab长度的最小值解(1)由题意，椭圆c的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆c的离心率e.(2)设点a，b的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为oaob，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|ab|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程解(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d.所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当opq的面积最大时，l的方程为2yx40.利用函数性质求最值 在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，点a在c上，若|ao|af|.(1)求c的方程；(2)设直线l与c交于p，q，若线段pq的中点的纵坐标为1，求opq的面积的最大值解(1)点a在c上，|ao|af|，p2，c的方程为x24y.(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，y1y24k22b，线段pq的中点的纵坐标为1，2k2b1，opq的面积sbb(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增，b1时，opq的面积的最大值为2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等教师备选例题如图，已知点f(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点f的直线交抛物线于a，b两点，点c在抛物线上，使得abc的重心g在x轴上，直线ac交x轴于点q，且q在点f的右侧记afg，cqg的面积分别为s1，s2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点g点坐标解(1)由抛物线的性质可得：1，p2，抛物线的准线方程为x1；(2)设a(xa，ya)，b(xb，yb)，c(xc，yc)，重心g(xg，yg)，令ya2t，t0，则xat2，由于直线ab过f，故直线ab的方程为xy1，代入y24x，得：y2y40，2tyb4，即yb，b(，)，又xg(xaxbxc)，yg(yaybyc)，重心在x轴上，2tyc0，c，g，直线ac的方程为y2t2t(xt2)，得q(t21,0)，q在焦点f的右侧，t22，2，令mt22，则m0，2221，当m时，取得最小值为1，此时g(2,0)已知抛物线y24x的焦点为f，过点f的直线交抛物线于a，b两点(1)若2，求直线ab的斜率；(2)设点m在线段ab上运动，原点o关于点m的对称点为c，求四边形oacb面积的最小值解(1)依题意知f(1,0)，设直线ab的方程为xmy1.将直线ab的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以y1y24m，