必修四平面向量的数量积讲义.doc

2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量cos叫做与的数量积(或内积)，记作，即cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“ ”不能省略，也不能也成“”；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：001800。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0；（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：，此时：0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于cos，其中cos叫做在方向上的投影，当为锐角时，投影为正；当为钝角时，投影为负；当就直角时，投影为0； 当为0度时，投影是； 当为180度时，投影为；（2）在方向上的投影与在方向上的投影就不同的；（3）在方向上的投影值可以写成。例1：已知2，5，当（1）与夹角为300时；（2）当时；（3）当当时；分别计算与的数量积。【解析】：（1）5； （2）0； （3）10变式练习1：已知3，5，且与的夹角为450，则在方向上的投影是（ ）A： B：3 C：4 D：5【解析】：A变式练习2：已知6，3，且12，则在方向上的投影是（ ）A：4 B：2 C：4 D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角1、cos 2、03、若与同向，则 ( 夹角为0度 )；若反向，则( 夹角为180度 )；特别地，()22或4、若是与的夹角，则cos5、（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、 2、()() ()3、() 4、()()()2()2225、()2222注意：（1）没有()()这个运算定律；（2），则不能得到； （3）若0，则或或900。 例2：下列说法正确的个数_。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若0，则与的夹角为锐角，若0，则与的夹角为钝角；（4） ()()；（5）若0，则或。【解析】：0个例3：已知与的夹角为1200，且4，2，则计算(2)()_，_。【解析】：12 2例4：已知，4，则_。【解析】：16变式练习1：已知1，()()，求（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值。【解析】：450，2，2，cos。变式练习2：已知向量、的夹角为600，且2，1，则向量与向量2的夹角等于（ ）A：1500 B：900 C：600 D：300【解析】：cos300 可用数形结合法，构成的四边形为菱形 变式练习3：已知向量与向量满足，6，4，且与的夹角为600，求与3。【解析】：2，36变式练习4：设四边形ABCD为平行四边形，6，4，若点M，N满足3，2，则（ ）A：20 B：15 C：9 D：6解析】这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而，。变式练习5：已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足()()0，则的最大值是（ ）A：1 B：2 C： D：【解析】：()()20，则2()，则4()22(222)22 故2。 C四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设，为x轴、y轴方向的两个单位向量，即(1，0)，(0，1)，且与为两个非零向量，(x1，y1)，(x2，y2)1、1 1 0 x1x2y1y22、若(x，y)，则2或。若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3、若(x1，y1)，(x2，y2)，则0 x1x2y1y204、若(x1，y1)，(x2，y2)，与的夹角为，则cos例4：向量(1，1)，(1，2)，则(2)（ ）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：C变式练习：若向量(x，2)，(2，1)，且，则（ ）A： B： C：2 D：10【解析】：B例5：若平面向量(4，3)，2(3，18)，则与夹角的余弦值等于（ ）A： B： C： D：【解析】：C变式练习1：设x、yR，向量(x，1)，(1，y)，(2，4)，且，则（ ）A： B： C：2 D：10【解析】：B变式练习2：已知(，2)，(3，5)，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_。【解析】：由于a与b的夹角为锐角，ab0，且a与b不共线同向由ab03100，解得.当向量a与b共线时，得56，得，因此的取值范围是且.答案：|且变式练习3：已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，O为坐标原点。（1）若，求tan； （2）若，求sin2； （3）若，且(0，)，求与的夹角。【解析】：（1）1 （2） （3）变式练习4：已知(5cosx，cosx)，(sinx，2cosx)，设函数f(x)。（1）当x，时，求函数f(x)的值域（2）当x，时，若f(x)8，求函数f(x)的值（3）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)的表达式，并判断其奇偶性。【解析】：（1）f(x)5sin(2x)5 （2）2x sin2x cos2xf(x)5sin2x55sin(2x)（3）g(x) 5sin2x 奇变式练习5：(，1)，(，)，且存在实数k和t，使(t23)，kt，且，试求的最大值。课 后 综 合 练 习1、给出以下四个命题：（1）0；（2）若0，且，则；（3）若，则；（4）当与反向时， 。正确命题的个数是（ ）A：1 B：2 C：3 D：4【解析】：B （3）应小于2、已知(0，1)，(1，1)，且()，则实数的值是（ ）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：A3、若3，且、的夹角为，则为（ ）A： B：2 C：3 D：【解析】：D4、设、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（1）()()；（2）；（3）()()与不垂直；（4）(32)(32)9242中，是真命题的有（ ）A：（1）（2） B：（2）（3） C：（3）（4） D：（2）（4）【解析】：D5、如图所示，RtABC中，A900，AB1，则的值是（ ）A：1 B：1 C：2 D：2【解析】：B6、ABC中，若0，则ABC的形状为（ ）A：直角三角形 B：钝角三角形 C：锐角三角形 D：不能判断【解析】：B7、已知、满足2，0，若向量与共线，则的最小值为（ ）A： B：1 C： D：【解析】：设(2，0)，(0，2)，x()(2x，2x)，则 A8、已知21，22，()0，则与的夹角为（ ）A：300 B：450 C：600 D：900【解析】：B9、已知1，与的夹角是900，23，k4，与垂直，则k的值为（ ）A：6 B：6 C：3 D：3【解析】：B10、1，2，且()0，则、的夹角为_。【解析】：120011、已知向量和的夹角为1200，且2，5，(2)_。【解析】：3512、已知向量和的