0010算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题.doc

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,.,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2.，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)，(A1(A2A3)A4)，(A1A2)(A3A4)，(A1(A2A3)A4)，(A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘A1，A2，A3；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数(A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n。 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mii=0，i=1,2,n 当ij时，若Ai:j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：mij=mik+mk+1j+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。 综上，有递推关系如下： 构造最优解： 若将对应mij的断开位置k记为sij，在计算出最优值mij后，可递归地由sij构造出相应的最优解。sij中的数表明，计算矩阵链Ai:j的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(Ai:k)(Ak+1:j)。因此，从s1n记录的信息可知计算A1:n的最优加括号方式为(A1:s1n)(As1n+1:n)，进一步递推，A1:s1n的最优加括号方式为(A1:s1s1n)(As1s1n+1:s1s1n)。同理可以确定As1n+1:n的最优加括号方式在ss1n+1n处断开.照此递推下去，最终可以确定A1:n的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。 1、穷举法 列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下： 以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。 2、重叠递归 从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：cppview plaincopy1. /3d1-1重叠子问题的递归最优解2. /A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253. /p0-6=30,35,15,5,10,20,254. #includestdafx.h5. #include6. usingnamespacestd;7. 8. constintL=7;9. 10. intRecurMatrixChain(inti,intj,int*s,int*p);/递归求最优解11. voidTraceback(inti,intj,int*s);/构造最优解12. 13. intmain()14. 15. intpL=30,35,15,5,10,20,25;16. 17. int*s=newint*L;18. for(inti=0;iL;i+)19. 20. si=newintL;21. 22. 23. cout矩阵的最少计算次数为：RecurMatrixChain(1,6,s,p)endl;24. cout矩阵最优计算次序为：endl;25. Traceback(1,6,s);26. return0;27. 28. 29. intRecurMatrixChain(inti,intj,int*s,int*p)30. 31. if(i=j)return0;32. intu=RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+pi-1*pi*pj;33. sij=i;34. 35. for(intk=i+1;kj;k+)36. 37. intt=RecurMatrixChain(i,k,s,p)+RecurMatrixChain(k+1,j,s,p)+pi-1*pk*pj;38. if(tu)39. 40. u=t;41. sij=k;42. 43. 44. returnu;45. 46. 47. voidTraceback(inti,intj,int*s)48. 49. if(i=j)return;50. Traceback(i,sij,s);51. Traceback(sij+1,j,s);52. coutMultiplyAi,sij;53. coutandA(sij+1),jendl;54. 用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a1:4的计算递归树如下图所示： 从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式： 用数学归纳法可以证明，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。 3、备忘录递归算法 备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。cppview plaincopy1. /3d1-2矩阵连乘备忘录递归实现2. /A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253. /p0-6=30,35,15,5,10,20,254. #includestdafx.h5. #include6. usingnamespacestd;7. 8. constintL=7;9. 10. intLookupChain(inti,intj,int*m,int*s,int*p);11. intMemoizedMatrixChain(intn,int*m,int*s,int*p);12. 13. voidTraceback(inti,intj,int*s);/构造最优解14. 15. intmain()16. 17. intpL=30,35,15,5,10,20,25;18. 19. int*s=newint*L;20. int*m=newint*L;21. for(inti=0;iL;i+)22. 23. si=newintL;24. mi=newintL;25. 26. 27. cout矩阵的最少计算次数为：MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)endl;28. cout矩阵最优计算次序为：endl;29. Traceback(1,6,s);30. return0;31. 32. 33. intMemoizedMatrixChain(intn,int*m,int*s,int*p)34. 35. for(inti=1;i=n;i+)36. 37. for(intj=1;j0)48. 49. returnmij;50. 51. if(i=j)52. 53. return0;54. 55. 56. intu=LookupChain(i,i,m,s,p)+LookupChain(i+1,j,m,s,p)+pi-1*pi*pj;57. sij=i;58. for(intk=i+1;kj;k+)59. 60. intt=LookupChain(i,k,m,s,p)+LookupChain(k+1,j,m,s,p)+pi-1*pk*pj;61. if(tu)62. 63. u=t;64. sij=k;65. 66. 67. mij=u;68. returnu;69. 70. 71. voidTraceback(inti,intj,int*s)72. 73. if(i=j)return;74. Traceback(i,sij,s);75. Traceback(sij+1,j,s);76. coutMultiplyAi,sij;77. coutandA(sij+1),j0，则表示其中存储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入mij中返回。备忘录算法耗时O(n3)，将直接递归算法的计算时间从2n降至O(n3)。 3、动态规划迭代实现 用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。cppview plaincopy1. /3d1-2矩阵连乘动态规划迭代实现2. /A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253. /p0-6=30,35,15,5,10,20,254. #includestdafx.h5. #include6. usingnamespacestd;7. 8. constintL=7;9. 10. intMatrixChain(intn,int*m,int*s,int*p);11. voidTraceback(inti,intj,int*s);/构造最优解12. 13. intmain()14. 15. intpL=30,35,15,5,10,20,25;16. 17. int*s=newint*L;18. int*m=newint*L;19. for(inti=0;iL;i+)20. 21. si=newintL;22. mi=newintL;23. 24. 25. cout矩阵的最少计算次数为：MatrixChain(6,m,s,p)endl;26. cout矩阵最优计算次序为：endl;27. Traceback(1,6,s);28. return0;29. 30. 31. intMatrixChain(intn,int*m,int*s,int*p)32. 33. for(inti=1;i=n;i+)34. 35. mii=0;36. 37. for(intr=2;r=n;r+)/r为当前计算的链长（子问题规模）38. 39. for(inti=1;i=n-r+1;i+)/n-r+1为最后一个r链的前边界40. 41. intj=i+r-1;/计算前边界为r，链长为r的链的后边界42. 43. mij=mi+1j+pi-1*pi*pj;/将链ij划分为A(i)*(Ai+1:j)44. 45. sij=i;46. 47. for(intk=i+1;kj;k+)48. 49. /将链ij划分为(Ai:k)*(Ak+1:j)50. intt=mik+mk+1j+pi-1*pk*pj;51. if(tmij)52. 53. mij=t;54. sij=k;55. 56. 57. 58. 59. returnm1L-1;60. 61. 62. voidTraceback(inti,intj,int*s)63. 64. if(i=j)return;65. Traceback(i,sij,s);66. Traceback(sij+1,j,s);67. coutMultiplyAi,sij;68. coutandA(sij+1),jendl;69. 上述迭代算法的运行过程如下图所示： 如图所示： 当R=2时，先迭代计算出： m1:2=m1:1+m2:2+p0*p1*p2； m2:3=m2:2+m3:3+p1*p2*p3; m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4; m4:5=m4:4+m55+p3*p4*p5; m5:6=m55+m66+p4*p5*p6