数学人教版九年级上册《垂直于弦的直径》.doc

24.1.2 垂直于弦的直径的教学设计盂县孙家庄中学 张晓云教学目标 1、知识技能：探索圆的轴对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能 够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。2、数学思考：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的 轴对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的轴对称性及相关性 质的过程。3、解决问题： 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索， 相互合作交流的精神。4、情感态度：使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学 态度和积极参与的主动精神。 教学重点和难点 教学重点：垂径定理及其应用。 教学难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.。学习者特征分析一般特征：学生是农村校的九年级学生，九年级的同学是比较好奇、好动、好表现的。虽然班级学生在学习之间存在一定的差异但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。知识结构：首先让学生从赵州桥实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型，建立数学关系的方法;其次学生通过动手操作得出垂径定理，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过“实验观察猜想证明”，主动地探索垂径定理的知识。然后通过新知训练和测验使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用；最后师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识。教学资源1、教师自制的多媒体课件。2、每个学生自制一个圆形纸片。3、每个学生准备直尺和圆规。教学过程设计一、创设情境，探究新知问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、动手动脑，探索定理1、实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性2、探索图中的数量关系和位置关系。如图（1），AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？学生观察图形，找出等量，说明理由。 图（1）如图（1）垂直于弦AB的直径CD所在直线是圆O的对称轴。把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合 因此 AE=BE AC=BC AD=BD 即 直径CD平分弦，并且平分AB及ACB请学生把发现的结论用语言叙述出来。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 想一想：下列图形是否可以使用垂径定理？为什么？ 3、分析这个定理的题设和结论。题设 结论（1）直径 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（2）垂直于弦 （5）平分弦所对的劣弧教师引导学生分析定理，画出相应图形，并结合图给出符号语言。 AE=BE 由 CD是直径CDAB, AC= BC, AD = BD.可推得 4、思考:若知道一条直线“过圆心”和“平分弦”，你是否能得到这条直线“垂 直于弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”？教师进一步追问学生其他情况，学生观察图形进行猜想，师生共同总结：推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧符号语言表示如下CDAB, 由 CD是直径 AE=BE AC= BC, AD = BD.可推得教师进一步反问：为什么要添加条件“不是直径”？学生举反例加以说明。三、应用新知，解决问题1、例1：如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。解：连接OA，过点O作OEAB于点E。 则OE3cm，AEBE. AB8cm AE4cm 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5cm O的半径5cm。例2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形证明： 四边形ADOE为矩形.，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.2、方法归纳解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。3、练习：（1）半径为4cm的O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是 。（2）O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是 。（3）半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。4、解决求赵州桥拱半径的问题如图，用弧AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高AB=48米，CD=16米四、测验基础，及时反馈1、判断（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ） （2）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）2.如图弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为多少？ 3.如图，AB是O的一条弦， CD是直径，且AE=BE，OE=5，AB=24，求O的半径 五、归纳小结，形成经验1、本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2、垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法 3、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题 六、作业设计，应用新知课本87页，习题24.1第1、8、9题七、教学反思 本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。本节课的主要内容一是圆的对称性，二是垂径定理及其推论。 首先，我以求赵州桥主桥拱的半径引入课题，以展示本节内容的实用性。怎么解决这个问题呢？接下来开始探究本节课的内容。经过活动：从学生自己动手做实验得到圆是轴对称图形，结合轴对称图形的性质推出垂径定理是再顺理成章不过的了，使学生得到一个直接且易懂的知识信息。再加上课件展示折叠体会重合的边，重合的弧，使同学们更能理解和掌握垂径定理。数学来源于生活，又服务于生活，在实际生活中，数、形结合随处可见，无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近。我觉得学生在解决实际问题的过程中，主要有两点困难：一是学生一见到实际问题就害怕，根本不想去认真读题分析；二是学生对实际问题的背景不熟悉。为此，本节课设计了一个实际问题，让学生觉得有非常实际的用途，而且与本节课的内容有直接的关系。这个问题解决了，以后学生再见到类似问题时，就不会感到陌生、害怕。在数学教学中，一些结论的表述是很重要的,而我在这节课上有些表述确实不是很精炼；而且我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词,更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫,在去听其他数学老师的课时,要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句. 一些该让学生知道的知识点,讲得不够透彻.例如：不能够用数量关系求的,应该要适当地引导学生设未知数.而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数. 同样在已知一条边,不够条件求解时,也要引导学生利用未知数来解题的这种题目,引导得不够,或者说引导得不够深刻,学生就会觉得是老师直接将知识倒向他,而他不一定能接受. 在教学设计方面,利用多媒体教学设计的内容有点多,在时间上把握得不够准确。还有其他很多问题，例如给学生思考的时间不够; 题目的梯度设计得不是很好 通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活