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欧拉方程欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn 为常数 k p t ex 令 常系数线性微分方程 xtln 即 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn t ex 令则 x y d d x t t y d d d d t y x d d1 2 2 d d x y x t t y xtd d d d1 d d t y t y x d d d d1 2 2 2 计算繁计算繁 t y yx d d t y t y yx d d d d 2 2 2 d d t D 记则由上述计算可知 yDyx yDyDyx 22 3 2 d d k t D k k k yDD 1 用归纳法可证ykDDDyx kk 1 1 于是欧拉方程 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn 1 1 t n nn efybyDbyD 转化为常系数线性方程 d d d d 1 1 1 t n n n n n efyb t y b t y 即 例例1 解解 则原方程化为 亦即 其根 则 对应的齐次方程的通解为 特征方程 的通解为 换回原变量 得原方程通解为 设特解 CtBtAy 2 代入 确定系数 得 例例2 解解 将方程化为 欧拉方程 则方程化为 即 特征根 设特解 2 t etAy 代入 解得 A 1 所求通解为 例例3 解解 由题设得定解问题 t ex 令 d d t D 记则 化为 t eyDDD 5 4 1 t eyD 5 4 2 特征根 2ir 设特解 t eAy 代入 得 A 1 得通解为 t etCtCy 2sin2cos 21 x xCxC 1 ln2sin ln2cos 21 利用初始条件 得 2 1 1 21 CC 故所求特解为 x xxy 1 ln2sin 2 1 ln2cos 思考思考 如何解下述微分方程 提示提示 原方
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